A integral integral0^+infty d xx^3 diverge ou converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a integral integral0^+infty dxx^3 converge ou diverge. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função 1x^3 nas extremidades do intervalo de integração, ou seja, perto de 0 e quando x vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral integral0^+infty dxx^3. Essa é uma integral imprópria porque os limites de integração são infinitos e também porque a função 1x^3 tem um ponto de descontinuidade em x = 0 .
Para analisar se essa integral converge ou diverge, vamos dividi-la em duas partes:
  1. De 0 a 1: integral0^1 dxx^3
  2. De 1 ao infinito: integral1^+infty dxx^3
Vamos verificar a convergência de cada uma dessas partes separadamente.

Passo 3

Analisando integral1^+infty dxx^3:
A função 1x^3 tende a zero quando x vai para o infinito. Vamos calcular essa integral:
integral1^+infty dxx^3 = limb to +infty integral1^b x^-3 dx
Integrando:
integral x^-3 dx = x^-2-2 = -12x^2
Aplicando os limites:
limb to +infty ( -12b^2 + 12 cdot 1^2 ) = 0 + 12 = 12
Então, essa parte da integral converge e vale 12 .

Passo 4

Analisando integral0^1 dxx^3:
Aqui, a função 1x^3 tende ao infinito quando x se aproxima de 0. Vamos calcular:
integral0^1 dxx^3 = lima to 0^+ integrala^1 x^-3 dx
Integrando:
integral x^-3 dx = -12x^2
Aplicando os limites:
lima to 0^+ ( -12 cdot 1^2 + 12a^2 ) = -12 + lima to 0^+ 12a^2 = -12 + infty = +infty
Essa parte da integral diverge porque o resultado tende ao infinito.

Resposta

Como uma das partes da integral diverge, a integral total integral0^+infty dxx^3 diverge.

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