A integral
diverge ou converge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a integral
converge ou diverge. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função
nas extremidades do intervalo de integração, ou seja, perto de 0 e quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral
. Essa é uma integral imprópria porque os limites de integração são infinitos e também porque a função
tem um ponto de descontinuidade em
.
Para analisar se essa integral converge ou diverge, vamos dividi-la em duas partes:
- De 0 a 1:
- De 1 ao infinito:
Vamos verificar a convergência de cada uma dessas partes separadamente.
Passo 3
Analisando
:
A função
tende a zero quando
vai para o infinito. Vamos calcular essa integral:
Integrando:
Aplicando os limites:
Então, essa parte da integral converge e vale
.
Passo 4
Analisando
:
Aqui, a função
tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Vamos calcular:
Integrando:
Aplicando os limites:
Essa parte da integral diverge porque o resultado tende ao infinito.
Resposta
Como uma das partes da integral diverge, a integral total
diverge.