Calcule as integrais a seguir.
(d) I=integral tan ^2(x) csc ^2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas e as técnicas de substituição para integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das identidades trigonométricas básicas que nos ajudarão a simplificar a expressão. Sabemos que:
tan(x) = sin(x)cos(x) e csc(x) = 1sin(x)
Vamos reescrever a integral usando essas identidades:
I = integral ( sin(x)cos(x) )^2 ( 1sin(x) )^2 dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
( sin(x)cos(x) )^2 = sin^2(x)cos^2(x)
( 1sin(x) )^2 = 1sin^2(x)
Multiplicando essas duas frações:
sin^2(x)cos^2(x) cdot 1sin^2(x) = 1cos^2(x) = sec^2(x)
Portanto, a integral fica:
I = integral sec^2(x) , dx

Passo 4

Sabemos que a integral de integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C é uma integral básica na trigonometria. A antiderivada de é . Ou seja:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados