Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
u = x * y^2 * z^3 * ln(x + 2 * y + 3 * z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver essa parada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de u em relação a x, ou seja, .
Observa que u é o produto de duas funções de x: e . Então, aplicamos a regra do produto:

Passo 3

Vamos derivar cada parte agora:
  1. Derivada de em relação a x:
    Como y e z são constantes em relação a x, a derivada é simplesmente .
  2. Derivada de em relação a x:
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de é multiplicado pela derivada de u. Aqui, , então:

Passo 4

Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão original:

Passo 5

Podemos simplificar un pouco, fatorando :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de u em relação a y, ou seja, .
De novo, aplicamos a regra do produto:

Passo 7

Derivando cada parte:
  1. Derivada de em relação a y:
    Aqui, x e z são constantes, então a derivada é .
  2. Derivada de em relação a y:
    Novamente, pela regra da cadeia:

Passo 8

Substituindo de volta:

Passo 9

Fatorando :

Passo 10

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de u em relação a z, ou seja, .
Aplicamos a mesma lógica:

Passo 11

Derivando cada parte:
  1. Derivada de em relação a z:
    Aqui, x e y são constantes, então a derivada é .
  2. Derivada de em relação a z:
    Usando a regra da cadeia:

Passo 12

Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

Exercícios relacionados