Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver essa parada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Observa que
é o produto de duas funções de
:
e
. Então, aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Vamos derivar cada parte agora:
-
Derivada de
em relação a : Comoe são constantes em relação a , a derivada é simplesmente . -
Derivada de
em relação a : Usamos a regra da cadeia. A derivada deé multiplicado pela derivada de . Aqui, , então:
Passo 4
Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão original:
Passo 5
Podemos simplificar un pouco, fatorando
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
De novo, aplicamos a regra do produto:
Passo 7
Derivando cada parte:
-
Derivada de
em relação a : Aqui,e são constantes, então a derivada é . -
Derivada de
em relação a : Novamente, pela regra da cadeia:
Passo 8
Substituindo de volta:
Passo 9
Fatorando
:
Passo 10
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aplicamos a mesma lógica:
Passo 11
Derivando cada parte:
-
Derivada de
em relação a : Aqui,e são constantes, então a derivada é . -
Derivada de
em relação a : Usando a regra da cadeia:
Passo 12
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: