Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de funções de duas variáveis e entender como encontrar suas derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Aplicando as regras de derivação:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas de primeira ordem que encontramos.
Primeira, a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Em seguida, a derivada de
em relação a
:
Calculando:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Derivando:
Por fim, a derivada de
em relação a
:
Calculando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são: