Use a derivação implícita para encontrar partial z / partial z e partial z / partial y.
x^2+y^2-z^2=2 x(y+z)

Passo 1

Estamos com a equação e queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a derivação implícita. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a cada variável e resolver para as derivadas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação em relação a ddx(x^2) + ddx(y^2) - ddx(z^2) = ddx(2x(y + z)) . Lembre-se que é tratado como uma constante quando diferenciamos em relação a .

Passo 3

Calculando cada derivada:
  • 2x - 0 - 2z cdot partial zpartial x = 2(y + z) + 2x cdot partial zpartial x
  • (pois é constante)
  • (pela regra da cadeia)
Substituindo na equação:

Passo 4

Vamos reorganizar os termos para isolar 2x - 2z cdot partial zpartial x = 2y + 2z + 2x cdot partial zpartial x :
-2z cdot partial zpartial x - 2x cdot partial zpartial x = 2y + 2z - 2x
Levantando todos os termos com partial zpartial x (-2z - 2x) = 2y + 2z - 2x de um lado:
Fatorando :

Passo 5

Isolando partial zpartial x = 2y + 2z - 2x-2z - 2x :
partial zpartial x = y + z - x-z - x = x - y - zx + z
Simplificando os fatores:

Passo 6

Agora, vamos diferenciar a equação original em relação a ddy(x^2) + ddy(y^2) - ddy(z^2) = ddy(2x(y + z)) . Desta vez, é tratado como uma constante.

Passo 7

Calculando cada derivada:
  • 0 + 2y - 2z cdot partial zpartial y = 2x + 2x cdot partial zpartial y (pois é constante)
Substituindo na equação:

Passo 8

Reorganizando para isolar 2y - 2z cdot partial zpartial y = 2x + 2x cdot partial zpartial y :
-2z cdot partial zpartial y - 2x cdot partial zpartial y = 2x - 2y
Levantando todos os termos com partial zpartial y (-2z - 2x) = 2x - 2y de um lado:
partial zpartial y = 2x - 2y-2z - 2x
Fatorando partial zpartial y = x - y-z - x = y - xx + z :
Isolando :
Simplificando os fatores:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = x - y - zx + z
partial zpartial y = y - xx + z

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