Use a derivação implícita para encontrar
e
.
Passo 1
Estamos com a equação
e queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a derivação implícita. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a cada variável e resolver para as derivadas desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação em relação a
. Lembre-se que
é tratado como uma constante quando diferenciamos em relação a
.
Passo 3
Calculando cada derivada:
-
-
(pois é constante) -
(pela regra da cadeia) -
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos reorganizar os termos para isolar
:
Levantando todos os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Passo 5
Isolando
:
Simplificando os fatores:
Passo 6
Agora, vamos diferenciar a equação original em relação a
. Desta vez,
é tratado como uma constante.
Passo 7
Calculando cada derivada:
-
(pois é constante) -
-
-
Substituindo na equação:
Passo 8
Reorganizando para isolar
:
Levantando todos os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Isolando
:
Simplificando os fatores:
Resposta
As derivadas parciais são: