Calcule as integrais a seguir:
\int t(\ln 5 t) d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int t(\ln 5 t)\,dt.
Informações importantes dadas/implícitas:
  • A função integranda é t\ln(5t).
  • Para que \ln(5t) esteja bem definida no real, assumimos t>0 (isso será levado em conta ao interpretar a constante de integração).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(t) tal que F'(t)=t\ln(5t).

Passo 2

Estratégia: usar integração por partes. Vou lembrar a fórmula e explicar o porquê da escolha das partes.
Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de t, dv é a diferencial de v, e du é a diferencial de u.
Dica prática (que funciona muito bem com logaritmos): escolher u igual à parte logarítmica (aqui \ln(5t)) porque sua derivada simplifica, e escolher dv a parte polinomial (aqui t\,dt) porque integra facilmente.

Passo 3

Escolhas e cálculos iniciais:
u = \ln(5t), \qquad dv = t\,dt.
Calcular du e v.
Derivada de \ln(5t): como \ln(5t)=\ln 5+\ln t, tem-se
\frac{d}{dt}\ln(5t)=\frac{1}{t}.
Portanto
du = \frac{1}{t}\,dt.
Integrando dv:
v=\int t\,dt=\frac{t^2}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int t\ln(5t)\,dt = u v - \int v\,du = \frac{t^2}{2}\ln(5t) - \int \frac{t^2}{2}\cdot\frac{1}{t}\,dt.
Simplificando o integrando do segundo termo:
\frac{t^2}{2}\cdot\frac{1}{t}=\frac{t}{2},
logo
\int t\ln(5t)\,dt = \frac{t^2}{2}\ln(5t) - \int \frac{t}{2}\,dt.
Calcule a integral restante:
\int \frac{t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int t\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{t^2}{2}=\frac{t^2}{4}.
Portanto
\int t\ln(5t)\,dt = \frac{t^2}{2}\ln(5t) - \frac{t^2}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação alternativa (útil para ficar seguro): escrever \ln(5t)=\ln 5+\ln t e integrar termo a termo.
\int t\ln(5t)\,dt = \int t(\ln 5+\ln t)\,dt = \ln 5\int t\,dt + \int t\ln t\,dt.
Tem-se \ln 5\int t\,dt=\ln 5\cdot\frac{t^2}{2}. Para \int t\ln t\,dt usar partes com u=\ln t, dv=t\,dt e obter
\int t\ln t\,dt = \frac{t^2}{2}\ln t - \frac{t^2}{4}.
Somando,
\ln 5\cdot\frac{t^2}{2} + \left(\frac{t^2}{2}\ln t - \frac{t^2}{4}\right) = \frac{t^2}{2}(\ln 5+\ln t) - \frac{t^2}{4} = \frac{t^2}{2}\ln(5t) - \frac{t^2}{4},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{t^2}{2}\ln(5t)-\frac{t^2}{4}+C

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