Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações importantes dadas/implícitas:
- A função integranda é
. - Para que
esteja bem definida no real, assumimos (isso será levado em conta ao interpretar a constante de integração). - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que .
Passo 2
Estratégia: usar integração por partes. Vou lembrar a fórmula e explicar o porquê da escolha das partes.
Fórmula de integração por partes:
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
, e
é a diferencial de
.
Dica prática (que funciona muito bem com logaritmos): escolher
igual à parte logarítmica (aqui
) porque sua derivada simplifica, e escolher
a parte polinomial (aqui
) porque integra facilmente.
Passo 3
Escolhas e cálculos iniciais:
Calcular
e
.
Derivada de
: como
, tem-se
Portanto
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando o integrando do segundo termo:
logo
Calcule a integral restante:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação alternativa (útil para ficar seguro): escrever
e integrar termo a termo.
Tem-se
. Para
usar partes com
,
e obter
Somando,
confirmando o resultado anterior.