Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pedem para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{3/2}}\,dx.\n
  • A única informação numérica relevante é o parâmetro dentro da soma x^{2}+4, ou seja, aqui a^{2}=4 e a=2.\n
  • Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e por quê:\n
  • Para integrais que envolvem expressões da forma \left(x^{2}+a^{2}\right)^{n} é muito comum e eficiente usar substituição trigonométrica. Ela transforma a raiz quadrada de soma de quadrados em funções trigonométricas simples.\n
  • Vou usar a substituição clássica \displaystyle x = a\tan\theta. Aqui a=2, então escolho \displaystyle x = 2\tan\theta. Isso costuma simplificar \,x^{2}+4 em algo proporcional a \operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 3

Fazer a substituição e transformar a integral:\n
  • Seja \displaystyle x = 2\tan\theta. Então \displaystyle dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.\n
  • Calcular \,x^{2}+4:\n x^{2}+4 = 4\tan^{2}\theta + 4 = 4\left(\tan^{2}\theta+1\right) = 4\operatorname{sec}^{2}\theta.\n
  • Portanto \displaystyle \left(x^{2}+4\right)^{3/2} = \left(4\operatorname{sec}^{2}\theta\right)^{3/2} = 4^{3/2}\left(\operatorname{sec}^{2}\theta\right)^{3/2} = 8\operatorname{sec}^{3}\theta, pois 4^{3/2}=8.\n
  • Substituindo na integral:\n \int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{3/2}}\,dx = \int \frac{1}{8\operatorname{sec}^{3}\theta}\cdot\bigl(2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\bigr) = \int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{8\operatorname{sec}^{3}\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{4}\cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar em \theta e usar regras básicas:\n
  • A integral de \cos\theta é \sin\theta. Logo\n \int \frac{1}{4}\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{4}\sin\theta + C.

Passo 5

Voltar para a variável x (retro-substituição):\n
  • Lembre que \displaystyle x=2\tan\theta, então \tan\theta=\dfrac{x}{2}.\n
  • Podemos construir um triângulo retângulo hipotético onde o cateto oposto vale x e o cateto adjacente vale 2. Então a hipotenusa vale \sqrt{x^{2}+4}.\n- Assim \sin\theta = \dfrac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.\n- Substituindo na primitiva em \theta:\n \frac{1}{4}\sin\theta + C = \frac{1}{4}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} + C.

Passo 6

Apresentar a primitiva final e comentar forma geral (dica útil para a prova):\n
  • A primitiva encontrada é \boxed{\displaystyle \frac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}} + C.}\n
  • Observação útil: para o caso geral \displaystyle \int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx a primitiva é \displaystyle \frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}+C. Aqui a=2 recupera a resposta acima. Isso é uma fórmula rápida para decorar e usar na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}}+C

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