Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
- Pedem para calcular a integral indefinida
.\n - A única informação numérica relevante é o parâmetro dentro da soma
, ou seja, aqui e .\n - Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método e por quê:\n
- Para integrais que envolvem expressões da forma
é muito comum e eficiente usar substituição trigonométrica. Ela transforma a raiz quadrada de soma de quadrados em funções trigonométricas simples.\n - Vou usar a substituição clássica
. Aqui , então escolho . Isso costuma simplificar em algo proporcional a .
Passo 3
Fazer a substituição e transformar a integral:\n
- Seja
. Então .\n - Calcular
:\n \n - Portanto
, pois .\n - Substituindo na integral:\n
Passo 4
Integrar em
e usar regras básicas:\n
- A integral de
é . Logo\n
Passo 5
Voltar para a variável
(retro-substituição):\n
- Lembre que
, então .\n - Podemos construir um triângulo retângulo hipotético onde o cateto oposto vale
e o cateto adjacente vale . Então a hipotenusa vale .\n- Assim .\n- Substituindo na primitiva em :\n
Passo 6
Apresentar a primitiva final e comentar forma geral (dica útil para a prova):\n
- A primitiva encontrada é
\n - Observação útil: para o caso geral
a primitiva é . Aqui recupera a resposta acima. Isso é uma fórmula rápida para decorar e usar na prova.