Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{2}{\sqrt{9+4 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) da função
\int \frac{2}{\sqrt{9+4 x^{2}}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{2}{\sqrt{9+4x^{2}}}.
  • Queremos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{9+4x^{2}}}.

Passo 2

Observação sobre o integrando e escolha do método:
  • A expressão no denominador é uma raiz quadrada do tipo \sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}. Um truque padrão é fazer uma mudança de variável que transforme essa raiz em \sqrt{1+u^{2}}, porque a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}} é conhecida.
  • Portanto escolho a substituição linear
u=\frac{2x}{3}.

Passo 3

Calcular a diferencial e reescrever a integral em u:
  • De u=\dfrac{2x}{3} temos
x=\frac{3u}{2}\quad\text{e}\quad dx=\frac{3}{2}\,du.
  • Substituindo na integral:
\sqrt{9+4x^{2}}=\sqrt{9+4\left(\frac{3u}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9+9u^{2}}=3\sqrt{1+u^{2}}.
  • O numerador 2\,dx fica
2\,dx=2\cdot\frac{3}{2}\,du=3\,du.
  • Logo a integral em x transforma-se em
\int \frac{2}{\sqrt{9+4x^{2}}}\,dx=\int \frac{3\,du}{3\sqrt{1+u^{2}}}=\int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}.

Passo 4

Conhecendo a primitiva básica:
  • É importante saber (ou lembrar) que a derivada da função \operatorname{arcsinh}(u) (também escrita \operatorname{arsinh}(u) ou \operatorname{arcsinh}u) é
\frac{d}{du}\operatorname{arcsinh}(u)=\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}.
  • Breve justificativa: \operatorname{arcsinh}(u)=\ln\!\big(u+\sqrt{1+u^{2}}\big). Derivando essa expressão obtém-se a fração acima (pode-se verificar por diferença de derivadas, se desejar).

Passo 5

Integrar em u e voltar para x:
  • Como \dfrac{d}{du}\operatorname{arcsinh}(u)=\dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}, a primitiva encontrada em u é
\int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}=\operatorname{arcsinh}(u)+C.
  • Agora basta substituir de volta u=\dfrac{2x}{3} para obter a primitiva em x.

Resposta

\operatorname{arcsinh}\!\left(\dfrac{2x}{3}\right)+C

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