Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (antiderivada) da função
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Observação sobre o integrando e escolha do método:
- A expressão no denominador é uma raiz quadrada do tipo
. Um truque padrão é fazer uma mudança de variável que transforme essa raiz em , porque a primitiva de é conhecida. - Portanto escolho a substituição linear
Passo 3
Calcular a diferencial e reescrever a integral em
:
- De
temos
- Substituindo na integral:
- O numerador
fica
- Logo a integral em
transforma-se em
Passo 4
Conhecendo a primitiva básica:
- É importante saber (ou lembrar) que a derivada da função
(também escrita ou ) é
- Breve justificativa:
. Derivando essa expressão obtém-se a fração acima (pode-se verificar por diferença de derivadas, se desejar).
Passo 5
Integrar em
e voltar para
:
- Como
, a primitiva encontrada em é
- Agora basta substituir de volta
para obter a primitiva em .