Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{x^{2}}{(x+3)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{(x+3)^{3/2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é racional em termos de x e tem uma expressão (x+3)^{3/2} no denominador.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) desta função, mais constante de integração C.

Passo 2

Observação estratégica (por que fazer isso): como aparece (x+3) dentro de uma potência, uma substituição que torne essa expressão simples costuma facilitar muito a integral. Então fazemos a substituição
u = x+3.
Daí segue que
x = u-3,\qquad dx = du.

Passo 3

Substituímos na integral. Primeiro escrevemos x^{2} em função de u:
x^{2}=(u-3)^{2}=u^{2}-6u+9.
A integral vira
\int \frac{u^{2}-6u+9}{u^{3/2}}\,du.

Passo 4

Agora dividimos cada termo por u^{3/2} e simplificamos as potências:
\frac{u^{2}}{u^{3/2}}=u^{2-3/2}=u^{1/2},\qquad \frac{-6u}{u^{3/2}}=-6u^{-1/2},\qquad \frac{9}{u^{3/2}}=9u^{-3/2}.
Portanto a integral fica
\int\bigl(u^{1/2}-6u^{-1/2}+9u^{-3/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Integramos termo a termo:
  • Para u^{1/2}: n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
  • Para -6u^{-1/2}: n=-\tfrac{1}{2}, então
\int -6u^{-1/2}\,du=-6\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}=-6\cdot 2\,u^{1/2}=-12u^{1/2}.
  • Para 9u^{-3/2}: n=-\tfrac{3}{2}, então
\int 9u^{-3/2}\,du=9\cdot\frac{u^{-1/2}}{-1/2}=9\cdot(-2)\,u^{-1/2}=-18u^{-1/2}.

Passo 6

Somando as três primitivas e lembrando da constante de integração C, obtemos a antiderivada em u:
\frac{2}{3}u^{3/2}-12u^{1/2}-18u^{-1/2}+C.
Voltando à variável x usando u=x+3, a primitiva é
\frac{2}{3}(x+3)^{3/2}-12(x+3)^{1/2}-18(x+3)^{-1/2}+C.

Resposta

\frac{2}{3}(x+3)^{3/2}-12(x+3)^{1/2}-18(x+3)^{-1/2}+C

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