Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas: integrando
e queremos uma primitiva (mais constante de integração).
Passo 2
Observação útil para escolher método: a presença de
no numerador e de uma função quadrática
no denominador sugere usar substituição. Uma identidade que sempre ajuda é:
Ou seja, quando a integral tem a forma
podemos integrar diretamente como
. Vou procurar uma substituição que transforme nosso integrando nessa forma.
Passo 3
Faço a substituição natural escolhendo a expressão que aparece dentro do log provável:
Agora calculo o diferencial
. Diferenciando
em relação a
obtém-se
Passo 4
Substituo na integral original: onde havia
coloco
e onde havia
coloco
. Assim
A integral
é a primitiva do tipo logaritmo, pois
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volto à variável original substituindo
. Observação:
para todo
, então podemos retirar as barras de valor absoluto se quiser, mas mantê-las não é errado. Assim a primitiva fica
Passo 6
Verificação rápida diferenciando a resposta: calcule
que é exatamente o integrando. Está correto.