Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{x}{1+9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{1+9x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas: integrando \dfrac{x}{1+9x^{2}} e queremos uma primitiva (mais constante de integração).

Passo 2

Observação útil para escolher método: a presença de x no numerador e de uma função quadrática 1+9x^{2} no denominador sugere usar substituição. Uma identidade que sempre ajuda é:
\text{se }F(x)=\ln|g(x)|\text{ então }F'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.ã
Ou seja, quando a integral tem a forma \dfrac{g'(x)}{g(x)} podemos integrar diretamente como \ln|g(x)|. Vou procurar uma substituição que transforme nosso integrando nessa forma.

Passo 3

Faço a substituição natural escolhendo a expressão que aparece dentro do log provável:
u = 9x^{2}.
Agora calculo o diferencial du. Diferenciando u em relação a x obtém-se
du = 18x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{18}.

Passo 4

Substituo na integral original: onde havia x\,dx coloco \dfrac{du}{18} e onde havia 9x^{2} coloco u. Assim
\int \frac{x}{1+9x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{1+u}\cdot\frac{du}{18} = \frac{1}{18}\int \frac{du}{1+u}.
A integral \int \dfrac{du}{1+u} é a primitiva do tipo logaritmo, pois \dfrac{d}{du}\ln|1+u|=\dfrac{1}{1+u}. Logo
\frac{1}{18}\int \frac{du}{1+u} = \frac{1}{18}\ln|1+u| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volto à variável original substituindo u=9x^{2}. Observação: 1+9x^{2}>0 para todo x, então podemos retirar as barras de valor absoluto se quiser, mas mantê-las não é errado. Assim a primitiva fica
\frac{1}{18}\ln\bigl(1+9x^{2}\bigr)+C.

Passo 6

Verificação rápida diferenciando a resposta: calcule
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{18}\ln\bigl(1+9x^{2}\bigr)\right] = \frac{1}{18}\cdot\frac{18x}{1+9x^{2}} = \frac{x}{1+9x^{2}},
que é exatamente o integrando. Está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{18}\ln\bigl(1+9x^{2}\bigr)+C

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