Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{x^{2}-5 x+10}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Escrevendo o que temos:
\int \frac{x^{2}-5x+10}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é indefinida (procura-se uma antiderivada mais constante de integração).
  • O integrando é uma expressão racional em potências de x envolvendo \sqrt{x}.
  • Não há restrição extra no enunciado (assume-se x>0 para \sqrt{x} se for necessário).

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a raiz como potência. Lembre-se que \sqrt{x}=x^{1/2}. Então o integrando pode ser reescrito como divisão por x^{1/2}:
\frac{x^{2}-5x+10}{\sqrt{x}}=\frac{x^{2}-5x+10}{x^{1/2}}.
Agora vamos separar a divisão termo a termo (isso é permitido porque \dfrac{a+b+c}{d}=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{d}):
\frac{x^{2}}{x^{1/2}}-\frac{5x}{x^{1/2}}+\frac{10}{x^{1/2}}.

Passo 3

Usamos a regra de potências para dividir: x^{a}/x^{b}=x^{a-b}. Aplicando a cada termo:
\frac{x^{2}}{x^{1/2}}=x^{2-\tfrac{1}{2}}=x^{3/2},
\frac{5x}{x^{1/2}}=5x^{1-\tfrac{1}{2}}=5x^{1/2},
\frac{10}{x^{1/2}}=10x^{-\tfrac{1}{2}}.
Portanto o integrando fica
x^{3/2}-5x^{1/2}+10x^{-1/2}.
A integral original equivale a integrar essa soma termo a termo:
\int \left(x^{3/2}-5x^{1/2}+10x^{-1/2}\right)\,dx.

Passo 4

Agora aplicamos a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência de x. Observação: o caso n=-1 daria \int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C, mas não precisamos desse caso aqui porque os expoentes que temos são 3/2, 1/2 e -1/2, todos diferentes de -1.

Passo 5

Integramos cada termo usando a fórmula acima.
  1. Para \displaystyle \int x^{3/2}\,dx: tomar n=\tfrac{3}{2}
\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}.
  1. Para \displaystyle \int -5x^{1/2}\,dx: fatoramos o -5 e usamos n=\tfrac{1}{2}:
\int -5x^{1/2}\,dx=-5\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=-5\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}=-5\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}=-\frac{10}{3}x^{3/2}.
  1. Para \displaystyle \int 10x^{-1/2}\,dx: fatoramos 10 e usamos n=-\tfrac{1}{2}:
\int 10x^{-1/2}\,dx=10\cdot\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}=10\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=10\cdot 2x^{1/2}=20x^{1/2}.

Passo 6

Somando as três primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa:
\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{10}{3}x^{3/2}+20x^{1/2}+C.
Se preferir escrever em termos de raiz quadrada ( \sqrt{x}=x^{1/2}), uma forma equivalente é
\frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}-\frac{10}{3}x\sqrt{x}+20\sqrt{x}+C,
ou ainda fatorando \sqrt{x}:
\sqrt{x}\left(\frac{2}{5}x^{2}-\frac{10}{3}x+20\right)+C.

Resposta

\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{10}{3}x^{3/2}+20x^{1/2}+C

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