Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Escrevendo o que temos:
Informações relevantes fornecidas:
- A integral é indefinida (procura-se uma antiderivada mais constante de integração).
- O integrando é uma expressão racional em potências de
envolvendo . - Não há restrição extra no enunciado (assume-se
para se for necessário).
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a raiz como potência. Lembre-se que
. Então o integrando pode ser reescrito como divisão por
:
Agora vamos separar a divisão termo a termo (isso é permitido porque
):
Passo 3
Usamos a regra de potências para dividir:
. Aplicando a cada termo:
Portanto o integrando fica
A integral original equivale a integrar essa soma termo a termo:
Passo 4
Agora aplicamos a regra básica de integração de potências: para
,
Aqui
é o expoente da potência de
. Observação: o caso
daria
, mas não precisamos desse caso aqui porque os expoentes que temos são
,
e
, todos diferentes de
.
Passo 5
Integramos cada termo usando a fórmula acima.
- Para
: tomar dá
- Para
: fatoramos o e usamos :
- Para
: fatoramos e usamos :
Passo 6
Somando as três primitivas e acrescentando a constante de integração
, obtemos a antiderivada completa:
Se preferir escrever em termos de raiz quadrada (
), uma forma equivalente é
ou ainda fatorando
: