Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{1}{\left(9-4 y^{2}\right)^{5 / 2}} d y

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a integral indefinida
\int \frac{1}{\left(9-4 y^{2}\right)^{5 / 2}}\,dy.
  • Pedido: calcular a antiderivada (ou seja, encontrar uma função F(y) tal que F'(y)=\dfrac{1}{(9-4y^2)^{5/2}}).

Passo 2

Estratégia inicial (o que vou fazer e por quê, de forma prática):
  • A expressão 9-4y^2 tem a forma a^2-b^2 y^2, o que é típico de uma substituição trigonométrica. Uma forma direta é primeiro normalizar a expressão dividindo por 9 através da substituição
u=\frac{2y}{3},
porque assim 9-4y^2=9(1-u^2). Vou aplicar essa substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Aplicando a substituição u=\dfrac{2y}{3}.
  • Então y=\dfrac{3}{2}u e dy=\dfrac{3}{2}\,du.
  • Substituindo na integral:
\int \frac{1}{\left(9-4 y^{2}\right)^{5/2}}\,dy = \int \frac{1}{\bigl(9(1-u^{2})\bigr)^{5/2}}\cdot \frac{3}{2}\,du.
  • Como \bigl(9(1-u^{2})\bigr)^{5/2}=9^{5/2}(1-u^{2})^{5/2} e 9^{5/2}=3^{5}=243, obtemos
\int \frac{1}{\left(9-4 y^{2}\right)^{5/2}}\,dy = \frac{3}{2\cdot 243}\int (1-u^{2})^{-5/2}\,du = \frac{1}{162}\int (1-u^{2})^{-5/2}\,du.

Passo 4

Segunda substituição (trigonométrica) para tratar (1-u^{2})^{-5/2}.
  • Para integrar (1-u^{2})^{-5/2} é natural usar u=\sin\theta, porque 1-u^{2}=\cos^{2}\theta e du=\cos\theta\,d\theta.
  • Substituindo u=\sin\theta:
(1-u^{2})^{-5/2} = \cos^{-5}\theta, \qquad du=\cos\theta\,d\theta.
  • Assim a integral interna vira
\int (1-u^{2})^{-5/2}\,du = \int \cos^{-5}\theta\cdot \cos\theta\,d\theta = \int \cos^{-4}\theta\,d\theta.
  • E \cos^{-4}\theta = \operatorname{sec}^{4}\theta. Logo precisamos calcular
\int \operatorname{sec}^{4}\theta\,d\theta.

Passo 5

Como integrar \int \operatorname{sec}^{4}\theta\,d\theta — técnica prática.
  • Escrever \operatorname{sec}^{4}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta(1+\tan^{2}\theta) é útil porque a derivada de \tan\theta é \operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Fazer a substituição t=\tan\theta, então dt=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Assim
\int \operatorname{sec}^{4}\theta\,d\theta = \int (1+\tan^{2}\theta)\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \int (1+t^{2})\,dt.
  • Integrando 1+t^{2} obtemos
\int (1+t^{2})\,dt = t + \frac{t^{3}}{3} + C.
  • Voltando para \theta: t=\tan\theta, logo
\int \operatorname{sec}^{4}\theta\,d\theta = \tan\theta + \frac{1}{3}\tan^{3}\theta + C.

Passo 6

Voltar de \theta para u usando u=\sin\theta.
  • Com u=\sin\theta, temos \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}, porque \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-u^{2}} (escolhemos o ramo positivo da raiz compatível com a substituição).
  • Portanto
\tan\theta = \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}},\qquad \tan^{3}\theta = \frac{u^{3}}{(1-u^{2})^{3/2}}.
  • Assim
\int (1-u^{2})^{-5/2}\,du = \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}} + \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{3}}{(1-u^{2})^{3/2}} + C.

Passo 7

Voltar de u para y (lembrando u=\dfrac{2y}{3}).
  • Substituir u=\dfrac{2y}{3} e 1-u^{2}=1-\dfrac{4y^{2}}{9}=\dfrac{9-4y^{2}}{9}.
  • Calcular \sqrt{1-u^{2}}=\dfrac{\sqrt{9-4y^{2}}}{3}.
  • Então
\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac{\tfrac{2y}{3}}{\tfrac{\sqrt{9-4y^{2}}}{3}} = \frac{2y}{\sqrt{9-4y^{2}}},
\frac{u^{3}}{(1-u^{2})^{3/2}} = \frac{\left(\tfrac{2y}{3}\right)^{3}}{\left(\tfrac{\sqrt{9-4y^{2}}}{3}\right)^{3}} = \frac{8y^{3}}{(9-4y^{2})^{3/2}}.
  • Lembrando o fator externo \dfrac{1}{162} obtido no Passo 3, multiplicamos:
\int \frac{1}{\left(9-4 y^{2}\right)^{5/2}}\,dy = \frac{1}{162}\left(\frac{2y}{\sqrt{9-4y^{2}}} + \frac{1}{3}\cdot\frac{8y^{3}}{(9-4y^{2})^{3/2}}\right) + C.

Passo 8

Simplificar os coeficientes e, se desejar, apresentar numa forma mais compacta.
  • Simplificando termo a termo:
\frac{1}{162}\cdot \frac{2y}{\sqrt{9-4y^{2}}} = \frac{y}{81\sqrt{9-4y^{2}}},
\frac{1}{162}\cdot \frac{8}{3}\cdot\frac{y^{3}}{(9-4y^{2})^{3/2}} = \frac{8}{486}\cdot\frac{y^{3}}{(9-4y^{2})^{3/2}} = \frac{4}{243}\cdot\frac{y^{3}}{(9-4y^{2})^{3/2}}.
  • Somando os dois termos e juntando em uma única fração é possível obter a forma
\frac{y(27-8y^{2})}{243(9-4y^{2})^{3/2}} + C,
que é equivalente à soma dos dois termos anteriores (verificação por manipulação algébrica).

Resposta

\dfrac{y}{81\sqrt{9-4y^{2}}}+\dfrac{4y^{3}}{243(9-4y^{2})^{3/2}}+C

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