Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a integral indefinida
- Pedido: calcular a antiderivada (ou seja, encontrar uma função
tal que ).
Passo 2
Estratégia inicial (o que vou fazer e por quê, de forma prática):
- A expressão
tem a forma , o que é típico de uma substituição trigonométrica. Uma forma direta é primeiro normalizar a expressão dividindo por através da substituição
porque assim
. Vou aplicar essa substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Aplicando a substituição
.
- Então
e . - Substituindo na integral:
- Como
e , obtemos
Passo 4
Segunda substituição (trigonométrica) para tratar
.
- Para integrar
é natural usar , porque e . - Substituindo
:
- Assim a integral interna vira
- E
. Logo precisamos calcular
Passo 5
Como integrar
— técnica prática.
- Escrever
é útil porque a derivada de é . - Fazer a substituição
, então . Assim
- Integrando
obtemos
- Voltando para
: , logo
Passo 6
Voltar de
para
usando
.
- Com
, temos , porque (escolhemos o ramo positivo da raiz compatível com a substituição). - Portanto
- Assim
Passo 7
Voltar de
para
(lembrando
).
- Substituir
e . - Calcular
. - Então
- Lembrando o fator externo
obtido no Passo 3, multiplicamos:
Passo 8
Simplificar os coeficientes e, se desejar, apresentar numa forma mais compacta.
- Simplificando termo a termo:
- Somando os dois termos e juntando em uma única fração é possível obter a forma
que é equivalente à soma dos dois termos anteriores (verificação por manipulação algébrica).