Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - O objetivo é obter o valor numérico exato da integral.
Passo 2
Observação e escolha de substituição (explicação didática):
- Dentro da raiz temos
. Para integrais com expressão do tipo costuma-se usar substituição trigonométrica , porque simplifica a raiz. - Aqui escolhemos
, isto é
Cálculo de
e da raiz:
Limites em
:
- Para
: e . - Para
: e .
(Nota: paraentre e temos entre e , ambas no primeiro quadrante, então seno e cosseno são positivos.)
Passo 3
Mudança do integrando passo a passo:
Substituindo , obtemos
Substituindo
e
Então o integrando vira
Agora cancelar fatores e simplificar:
- As
cancelam. - Numerador:
. Denominador: .
Portanto
Simplificando
, obtemos a forma final do integrando em
:
Logo a integral original passa a ser
Passo 4
Integração de
(aula curta):
Usamos a identidade .
Faça a substituição , então
. Assim
Usamos a identidade
Faça a substituição
Portanto, a integral definida vale
Passo 5
Avaliação nos limites (contas detalhadas):
- Para o limite superior
temos . Portanto
Calcule
Multiplicando por
obtemos a contribuição superior
- Para o limite inferior
temos . Então
Multiplicando por
obtemos a contribuição inferior
- Subtraindo (superior − inferior) com denominador comum
: