Calcule as integrais a seguir:
\int_{3}^{4} \frac{1}{x^{4}\left(4 x^{2}-9\right)^{1 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{3}^{4}\frac{1}{x^{4}\sqrt{4x^{2}-9}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{x^{4}\sqrt{4x^{2}-9}}.
  • Os limites de integração são x=3 e x=4.
  • O objetivo é obter o valor numérico exato da integral.

Passo 2

Observação e escolha de substituição (explicação didática):
  • Dentro da raiz temos 4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}. Para integrais com expressão do tipo \sqrt{u^{2}-a^{2}} costuma-se usar substituição trigonométrica u=a\operatorname{sec}\theta, porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta simplifica a raiz.
  • Aqui escolhemos 2x=3\operatorname{sec}\theta, isto é
x=\frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta.
Cálculo de dx e da raiz:
dx=\frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{4x^{2}-9}=\sqrt{(2x)^{2}-3^{2}}=3\tan\theta.
Limites em \theta:
  • Para x=3: 2x=6 e 6=3\operatorname{sec}\theta\Rightarrow\operatorname{sec}\theta=2\Rightarrow\theta=\pi/3.
  • Para x=4: 2x=8 e 8=3\operatorname{sec}\theta\Rightarrow\operatorname{sec}\theta=8/3\Rightarrow\theta=\operatorname{arcsec}(8/3).
    (Nota: para x entre 3 e 4 temos \theta entre \pi/3 e \operatorname{arcsec}(8/3), ambas no primeiro quadrante, então seno e cosseno são positivos.)

Passo 3

Mudança do integrando passo a passo:
Substituindo x=\dfrac{3}{2}\operatorname{sec}\theta, obtemos
x^{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}\operatorname{sec}^{4}\theta=\frac{81}{16}\operatorname{sec}^{4}\theta, \qquad \sqrt{4x^{2}-9}=3\tan\theta,
e
dx=\frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Então o integrando vira
\frac{1}{x^{4}\sqrt{4x^{2}-9}}\,dx =\frac{1}{\left(\dfrac{81}{16}\operatorname{sec}^{4}\theta\right)\cdot(3\tan\theta)}\cdot\left(\frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\right).
Agora cancelar fatores e simplificar:
  • As \tan\theta cancelam.
  • Numerador: \dfrac{3}{2}\operatorname{sec}\theta. Denominador: \dfrac{81}{16}\cdot 3\operatorname{sec}^{4}\theta=\dfrac{243}{16}\operatorname{sec}^{4}\theta.
    Portanto
\frac{\dfrac{3}{2}\operatorname{sec}\theta}{\dfrac{243}{16}\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta =\frac{3}{2}\cdot\frac{16}{243}\operatorname{sec}^{-3}\theta\,d\theta =\frac{48}{486}\cos^{3}\theta\,d\theta.
Simplificando \dfrac{48}{486}=\dfrac{8}{81}, obtemos a forma final do integrando em \theta:
\frac{8}{81}\cos^{3}\theta\,d\theta.
Logo a integral original passa a ser
\int_{\pi/3}^{\operatorname{arcsec}(8/3)}\frac{8}{81}\cos^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integração de \cos^{3}\theta (aula curta):
Usamos a identidade \cos^{3}\theta=\cos^{2}\theta\cos\theta=(1-\sin^{2}\theta)\cos\theta.
Faça a substituição u=\sin\theta, então du=\cos\theta\,d\theta. Assim
\int\cos^{3}\theta\,d\theta=\int(1-u^{2})\,du=u-\frac{u^{3}}{3}+C=\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}+C.
Portanto, a integral definida vale
\frac{8}{81}\Bigg[\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}\Bigg]_{\theta=\pi/3}^{\theta=\operatorname{arcsec}(8/3)}.

Passo 5

Avaliação nos limites (contas detalhadas):
  • Para o limite superior \theta_{2}=\operatorname{arcsec}(8/3) temos \cos\theta_{2}=3/8. Portanto
\sin\theta_{2}=\sqrt{1-\cos^{2}\theta_{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{64}}=\sqrt{\frac{55}{64}}=\frac{\sqrt{55}}{8}.
Calcule
\sin\theta_{2}-\frac{\sin^{3}\theta_{2}}{3} =\frac{\sqrt{55}}{8}-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{55}}{8}\right)^{3} =\frac{\sqrt{55}}{8}-\frac{55\sqrt{55}}{1536} =\frac{137\sqrt{55}}{1536}.
Multiplicando por \dfrac{8}{81} obtemos a contribuição superior
\frac{8}{81}\cdot\frac{137\sqrt{55}}{1536}=\frac{137\sqrt{55}}{15552}.
  • Para o limite inferior \theta_{1}=\pi/3 temos \sin\theta_{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\sin\theta_{1}-\frac{\sin^{3}\theta_{1}}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Multiplicando por \dfrac{8}{81} obtemos a contribuição inferior
\frac{8}{81}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{27}=\frac{576\sqrt{3}}{15552}.
  • Subtraindo (superior − inferior) com denominador comum 15552:
\frac{137\sqrt{55}}{15552}-\frac{576\sqrt{3}}{15552} =\frac{137\sqrt{55}-576\sqrt{3}}{15552}.

Resposta

\dfrac{137\sqrt{55}-576\sqrt{3}}{15552}

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