Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{3 x-1}{x^{2}+2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x-1}{x^{2}+2x+1}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é \,3x-1.
  • O denominador é \,x^{2}+2x+1, que é um quadrado perfeito: \,(x+1)^{2}.
  • A pergunta é encontrar a antiderivada (primitiva) desta função racional, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{3x-1}{x^{2}+2x+1}.

Passo 2

Estratégia: observar que a derivada do denominador é próxima ao numerador. Calcule a derivada de \,x^{2}+2x+1:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}+2x+1\big)=2x+2.
Isso sugere escrever o numerador como combinação linear de \,2x+2 (derivada do denominador) e uma constante, porque dividir por (x+1)^{2} torna esses termos fáceis de integrar.

Passo 3

Procuramos constantes k e m tais que
3x-1 = k(2x+2) + m.
Desenvolvendo o lado direito:
k(2x+2)+m = 2k\,x + 2k + m.
Igualando coeficientes com 3x-1 obtemos o sistema
2k = 3,\qquad 2k + m = -1.
Da primeira equação vem k=\dfrac{3}{2}. Substituindo na segunda:
2\cdot\frac{3}{2} + m = -1 \quad\Rightarrow\quad 3 + m = -1 \quad\Rightarrow\quad m = -4.

Passo 4

Substituindo k e m na fração original:
\frac{3x-1}{x^{2}+2x+1} = \frac{\tfrac{3}{2}(2x+2) - 4}{(x+1)^{2}}.
Separe em duas frações:
\frac{3x-1}{x^{2}+2x+1} = \tfrac{3}{2}\,\frac{2x+2}{(x+1)^{2}} - 4\cdot\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Note que 2x+2 = 2(x+1), então
\frac{2x+2}{(x+1)^{2}}=\frac{2(x+1)}{(x+1)^{2}}=\frac{2}{x+1}.
Portanto a expressão simplifica para
\frac{3x-1}{x^{2}+2x+1} = \frac{3}{x+1} - \frac{4}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Usar as antiderivadas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C.
  • \displaystyle \int (x+1)^{-2}\,dx = - (x+1)^{-1} + C = -\frac{1}{x+1} + C.
Então
\int \frac{3x-1}{x^{2}+2x+1}\,dx = \int \frac{3}{x+1}\,dx - \int \frac{4}{(x+1)^{2}}\,dx.
Calcule cada uma:
\int \frac{3}{x+1}\,dx = 3\ln|x+1|,
\int \frac{4}{(x+1)^{2}}\,dx = 4\int (x+1)^{-2}\,dx = 4\Big(-\frac{1}{x+1}\Big) = -\frac{4}{x+1}.
Portanto (lembrando o sinal do segundo termo),
\int \frac{3x-1}{x^{2}+2x+1}\,dx = 3\ln|x+1| + \frac{4}{x+1} + C.

Passo 6

Checagem rápida (opcional): derivando 3\ln|x+1| + \dfrac{4}{x+1} obtém-se
\frac{3}{x+1} - \frac{4}{(x+1)^{2}} = \frac{3x-1}{(x+1)^{2}},
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

3\ln|x+1|+\dfrac{4}{x+1}+C

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