Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
, que é um quadrado perfeito: . - A pergunta é encontrar a antiderivada (primitiva) desta função racional, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Estratégia: observar que a derivada do denominador é próxima ao numerador. Calcule a derivada de
:
Isso sugere escrever o numerador como combinação linear de
(derivada do denominador) e uma constante, porque dividir por
torna esses termos fáceis de integrar.
Passo 3
Procuramos constantes
e
tais que
Desenvolvendo o lado direito:
Igualando coeficientes com
obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Passo 4
Substituindo
e
na fração original:
Separe em duas frações:
Note que
, então
Portanto a expressão simplifica para
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Usar as antiderivadas básicas:
-
. -
.
Então
Calcule cada uma:
Portanto (lembrando o sinal do segundo termo),
Passo 6
Checagem rápida (opcional): derivando
obtém-se
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.