Calcule as integrais a seguir: \int_{0}^{2} \frac{1}{t^{2}+3 t+2} d t
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{1}{t^{2}+3t+2}\,dt.
Informações dadas e observações iniciais:
O integrando é \dfrac{1}{t^{2}+3t+2}.
O intervalo de integração é [0,2].
É importante verificar se o denominador se anula no intervalo; as raízes de t^{2}+3t+2 serão checadas depois.
Passo 2
Fatorar o polinômio do denominador, porque isso facilita a integração por frações parciais.
Procuramos dois números que multiplicam para 2 e somam 3. Esses números são 1 e 2. Portanto
t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2).
Verificação de singularidades no intervalo: as raízes são t=-1 e t=-2, ambas fora do intervalo [0,2]. Logo a função é contínua em [0,2] e a integral própria está bem definida.
Passo 3
Decompor a fração em frações simples (frações parciais). Escrevemos
\frac{1}{(t+1)(t+2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+2},
onde A e B são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (t+1)(t+2) obtemos
1 = A(t+2)+B(t+1).
Para achar A e B usamos substituições simples:
Tomando t=-1 dá 1 = A(1), portanto A=1.
Tomando t=-2 dá 1 = B(-1), portanto B=-1.
Assim a decomposição é
\frac{1}{t^{2}+3t+2}=\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}.
Passo 4
Integrar termo a termo. Lembrete da fórmula básica: a derivada de \ln|u| é \dfrac{u'}{u}. Em particular, para u=t+a tem-se