Calcule as integrais a seguir:
\int_{0}^{2} \frac{1}{t^{2}+3 t+2} d t

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{1}{t^{2}+3t+2}\,dt.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é \dfrac{1}{t^{2}+3t+2}.
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • É importante verificar se o denominador se anula no intervalo; as raízes de t^{2}+3t+2 serão checadas depois.

Passo 2

Fatorar o polinômio do denominador, porque isso facilita a integração por frações parciais.
Procuramos dois números que multiplicam para 2 e somam 3. Esses números são 1 e 2. Portanto
t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2).
Verificação de singularidades no intervalo: as raízes são t=-1 e t=-2, ambas fora do intervalo [0,2]. Logo a função é contínua em [0,2] e a integral própria está bem definida.

Passo 3

Decompor a fração em frações simples (frações parciais). Escrevemos
\frac{1}{(t+1)(t+2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+2},
onde A e B são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (t+1)(t+2) obtemos
1 = A(t+2)+B(t+1).
Para achar A e B usamos substituições simples:
  • Tomando t=-1 1 = A(1), portanto A=1.
  • Tomando t=-2 1 = B(-1), portanto B=-1.
Assim a decomposição é
\frac{1}{t^{2}+3t+2}=\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}.

Passo 4

Integrar termo a termo. Lembrete da fórmula básica: a derivada de \ln|u| é \dfrac{u'}{u}. Em particular, para u=t+a tem-se
\frac{d}{dt}\ln|t+a|=\frac{1}{t+a},
portanto
\int \frac{1}{t+a}\,dt=\ln|t+a|+C.
Aplicando isso à nossa decomposição:
\int \left(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}\right)dt=\ln|t+1|-\ln|t+2|+C.
Podemos também escrever a primitiva como
F(t)=\ln\!\left|\frac{t+1}{t+2}\right|+C.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando F(t). Temos
\int_{0}^{2}\frac{1}{t^{2}+3t+2}\,dt = \left[\ln|t+1|-\ln|t+2|\right]_{0}^{2}.
Calcule os valores:
F(2)=\ln(3)-\ln(4)=\ln\!\left(\frac{3}{4}\right),
F(0)=\ln(1)-\ln(2)=0-\ln(2)=-\ln(2).
Subtraindo,
F(2)-F(0)=\ln\!\left(\frac{3}{4}\right)-\bigl(-\ln(2)\bigr)=\ln\!\left(\frac{3}{4}\right)+\ln(2).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a+\ln b=\ln(ab),
\ln\!\left(\frac{3}{4}\right)+\ln(2)=\ln\!\left(\frac{3}{4}\cdot 2\right)=\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\frac{3}{2}\right)

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