Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{2 x^{3}-1}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedem para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{2 x^{3}-1}{x^{2}-1}\,dx.
  • A integranda é uma função racional: razão de dois polinômios. O numerador é 2x^{3}-1 e o denominador é x^{2}-1.
  • Observação importante (domínio): o denominador zera em x=\pm 1, portanto a função não está definida nesses pontos; nas integrais indefinidas isso aparece pela necessidade de usar valor absoluto nas funções logarítmicas que surgirem ( \ln|x\pm1|).
  • Informação útil para a resolução futura: o grau do numerador ( 3) é maior ou igual ao do denominador ( 2), portanto convém primeiro reduzir a fração por divisão polinomial para obter uma parcela polinomial mais uma fração própria (numerador de grau menor que o denominador).

Passo 2

Por que fazer divisão polinomial? Explicação didática:
  • Uma “fração própria” é quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador; frações próprias são tratáveis por decomposição em frações parciais.
  • Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, convém dividir para escrever a função como soma de um polinômio (que integra facilmente termo a termo) e uma fração própria.
  • Vamos então dividir o polinômio 2x^{3}-1 por x^{2}-1 passo a passo.

Passo 3

Divisão polinomial passo a passo:
  • Primeiro termo: divida 2x^{3} por x^{2}. O quociente inicial é 2x.
  • Multiplica-se o divisor pelo quociente parcial: (x^{2}-1)\cdot 2x = 2x^{3}-2x.
  • Subtrai-se do numerador: (2x^{3}-1) - (2x^{3}-2x) = 2x -1.
  • Resultado da divisão: quociente 2x e resto 2x-1.
  • Portanto
\frac{2x^{3}-1}{x^{2}-1} = 2x + \frac{2x-1}{x^{2}-1}.

Passo 4

Agora tratamos a fração própria \dfrac{2x-1}{x^{2}-1}.
  • Note que o denominador fatoriza: x^{2}-1=(x-1)(x+1).
  • A técnica aqui é decompor a fração própria em frações parciais da forma
\frac{2x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar.
  • Explicando a ideia: queremos escrever a função como soma de termos simples cuja integral é um logaritmo. Para encontrar A,B multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1) e igualamos polinômios.

Passo 5

Determinação de A e B resolvendo o sistema:
  • Multiplicando pela fatoração obtemos
2x-1 = A(x+1)+B(x-1).
  • Expandindo o lado direito:
A(x+1)+B(x-1) = (A+B)x + (A-B).
  • Igualando coeficientes do polinômio à esquerda com os da direita:
    • Coeficiente de x: A+B=2.
    • Termo constante: A-B=-1.
  • Resolva o sistema:
    • Somando as duas equações: 2A = 1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
    • Substituindo em A+B=2: B = 2 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.
  • Portanto
\frac{2x-1}{x^{2}-1}=\frac{1/2}{x-1}+\frac{3/2}{x+1}.

Passo 6

Reescrevendo a integranda já totalmente decomposta:
  • Lembrando da divisão feita no Passo 3, juntamos tudo:
\frac{2x^{3}-1}{x^{2}-1} = 2x + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.
  • Agora podemos integrar termo a termo, usando regras básicas de integração:
    • Regra 1: \displaystyle \int 2x\,dx = x^{2} + C, pois \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2} e o fator 2 cancela.
    • Regra 2: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. Aqui é importante o valor absoluto porque o argumento do log deve ser positivo; por isso aparece \ln|\,\cdot\,|.

Passo 7

Integração efetiva termo a termo:
  • Integre 2x:
\int 2x\,dx = x^{2}.
  • Integre \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}:
\int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x-1|.
  • Integre \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}:
\int \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x+1|.
  • Somando todas as partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa.

Resposta

x^{2}+\tfrac{1}{2}\ln|x-1|+\tfrac{3}{2}\ln|x+1|+C

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