Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pedem para calcular a integral indefinida
. - A integranda é uma função racional: razão de dois polinômios. O numerador é
e o denominador é . - Observação importante (domínio): o denominador zera em
, portanto a função não está definida nesses pontos; nas integrais indefinidas isso aparece pela necessidade de usar valor absoluto nas funções logarítmicas que surgirem ( ). - Informação útil para a resolução futura: o grau do numerador (
) é maior ou igual ao do denominador ( ), portanto convém primeiro reduzir a fração por divisão polinomial para obter uma parcela polinomial mais uma fração própria (numerador de grau menor que o denominador).
Passo 2
Por que fazer divisão polinomial? Explicação didática:
- Uma “fração própria” é quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador; frações próprias são tratáveis por decomposição em frações parciais.
- Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, convém dividir para escrever a função como soma de um polinômio (que integra facilmente termo a termo) e uma fração própria.
- Vamos então dividir o polinômio
por passo a passo.
Passo 3
Divisão polinomial passo a passo:
- Primeiro termo: divida
por . O quociente inicial é . - Multiplica-se o divisor pelo quociente parcial:
. - Subtrai-se do numerador:
. - Resultado da divisão: quociente
e resto . - Portanto
Passo 4
Agora tratamos a fração própria
.
- Note que o denominador fatoriza:
. - A técnica aqui é decompor a fração própria em frações parciais da forma
onde
e
são constantes a determinar.
- Explicando a ideia: queremos escrever a função como soma de termos simples cuja integral é um logaritmo. Para encontrar
multiplicamos ambos os lados por e igualamos polinômios.
Passo 5
Determinação de
e
resolvendo o sistema:
- Multiplicando pela fatoração obtemos
- Expandindo o lado direito:
- Igualando coeficientes do polinômio à esquerda com os da direita:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
- Coeficiente de
- Resolva o sistema:
- Somando as duas equações:
. - Substituindo em
: .
- Somando as duas equações:
- Portanto
Passo 6
Reescrevendo a integranda já totalmente decomposta:
- Lembrando da divisão feita no Passo 3, juntamos tudo:
- Agora podemos integrar termo a termo, usando regras básicas de integração:
- Regra 1:
, pois e o fator cancela. - Regra 2:
. Aqui é importante o valor absoluto porque o argumento do log deve ser positivo; por isso aparece .
- Regra 1:
Passo 7
Integração efetiva termo a termo:
- Integre
:
- Integre
:
- Integre
:
- Somando todas as partes e acrescentando a constante de integração
, obtemos a antiderivada completa.