Calcule as integrais a seguir
int \frac{\sin 2 x}{\sin x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin 2x}{\sin x}\,dx.
Informações relevantes dadas: a integranda é a função \dfrac{\sin 2x}{\sin x}. Não há mais condições explícitas (por exemplo intervalo), então a solução será um antiderivada válida em intervalos onde a expressão faz sentido (ou seja, onde \sin x \neq 0).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica básica para simplificar a integranda. A identidade de soma para seno dá:
\sin(2x)=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x.
Aqui \sin(2x) significa o seno de 2x, e \cos x é o cosseno de x. Essa fórmula é muito útil para transformar funções de ângulo duplo em produtos.

Passo 3

Substituindo a identidade em \sin 2x dentro da integral, obtemos
\int \frac{\sin 2x}{\sin x}\,dx = \int \frac{2\sin x\cos x}{\sin x}\,dx.
Podemos simplificar a fração porque \sin x aparece no numerador e no denominador. Ao cancelar \sin x (válido quando \sin x\neq 0) ficamos com
\int 2\cos x\,dx.
Observação importante: a cancelamento exige \sin x\neq 0; portanto o antiderivada que encontrarmos é válida em cada intervalo onde \sin x não se anula (por exemplo em (0,\pi), (\pi,2\pi), etc.). Em pontos onde \sin x=0 a função original não está definida.

Passo 4

Agora integramos \int 2\cos x\,dx. Usamos a regra básica de integrais:
\int \cos x\,dx=\sin x + C,
porque a derivada de \sin x é \cos x. Como há um fator constante 2, aplicamos a linearidade da integral:
\int 2\cos x\,dx = 2\int \cos x\,dx = 2\sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Checagem rápida: derivando a resposta proposta \;2\sin x + C\; obtemos
\frac{d}{dx}(2\sin x + C)=2\cos x,
que é justamente a forma simplificada da nossa integranda depois do cancelamento. Logo a antiderivada está correta nos intervalos onde a integranda original está definida ( \sin x\neq0). Em resumo, a integral vale 2\sin x + C (com a ressalva da validade por intervalos).

Resposta

2\sin x + C

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