Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas: a integranda é a função
. Não há mais condições explícitas (por exemplo intervalo), então a solução será um antiderivada válida em intervalos onde a expressão faz sentido (ou seja, onde
).
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica básica para simplificar a integranda. A identidade de soma para seno dá:
Aqui
significa o seno de
, e
é o cosseno de
. Essa fórmula é muito útil para transformar funções de ângulo duplo em produtos.
Passo 3
Substituindo a identidade em
dentro da integral, obtemos
Podemos simplificar a fração porque
aparece no numerador e no denominador. Ao cancelar
(válido quando
) ficamos com
Observação importante: a cancelamento exige
; portanto o antiderivada que encontrarmos é válida em cada intervalo onde
não se anula (por exemplo em
,
, etc.). Em pontos onde
a função original não está definida.
Passo 4
Agora integramos
. Usamos a regra básica de integrais:
porque a derivada de
é
. Como há um fator constante
, aplicamos a linearidade da integral:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Checagem rápida: derivando a resposta proposta
obtemos
que é justamente a forma simplificada da nossa integranda depois do cancelamento. Logo a antiderivada está correta nos intervalos onde a integranda original está definida (
). Em resumo, a integral vale
(com a ressalva da validade por intervalos).