Calcule as integrais a seguir:
\int_{1}^{2} \frac{x}{\left(1+9 x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{x}{\left(1+9 x^{2}\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Limites de integração: x=1 até x=2.
  • Integrando: \dfrac{x}{(1+9x^{2})^{2}}.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida. Nada mais é dado.

Passo 2

Escolha do método: observar o integrando. A presença de x no numerador e de uma função composta (1+9x^{2}) no denominador sugere tentar uma substituição do tipo
u=1+9x^{2},
porque a derivada de 1+9x^{2} é 18x, que é proporcional a x que aparece no numerador. Esta é uma técnica padrão: quando a integral tem a forma \dfrac{f'(x)}{(f(x))^{n}} ou algo parecido, a substituição u=f(x) costuma simplificar muito.
Explicando a ideia da substituição: se colocarmos u=f(x), então du=f'(x)\,dx. Assim x\,dx pode ser trocado por uma constante vezes du, transformando a integral em uma integral em u mais simples.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente. Defina
u=1+9x^{2}.
Calcule du:
du = 18x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{18}\,du.
Também troque os limites da integral para a variável u:
\text{quando } x=1,\; u=1+9\cdot1^{2}=10, \qquad \text{quando } x=2,\; u=1+9\cdot2^{2}=1+36=37.
Agora reescreva a integral em u. Substituindo x\,dx=\dfrac{1}{18}\,du e (1+9x^{2})^{2}=u^{2}, obtemos
\int_{1}^{2} \frac{x}{(1+9x^{2})^{2}}\,dx = \int_{u=10}^{u=37} \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{18}\,du = \frac{1}{18}\int_{10}^{37} u^{-2}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u. Use a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Portanto a integral definida é
\frac{1}{18}\int_{10}^{37} u^{-2}\,du = \frac{1}{18}\bigl[-u^{-1}\bigr]_{10}^{37}.

Passo 5

Avaliar a expressão nos limites e simplificar as frações. Primeiro avalie o primitivo em 37 e em 10:
\frac{1}{18}\bigl(-\tfrac{1}{37} - \bigl(-\tfrac{1}{10}\bigr)\bigr) = \frac{1}{18}\left(-\frac{1}{37}+\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{18}\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{37}\right).
Calcule a diferença dentro dos parênteses com denominador comum 370:
\frac{1}{10}-\frac{1}{37}=\frac{37-10}{370}=\frac{27}{370}.
Então
\frac{1}{18}\cdot\frac{27}{370}=\frac{27}{18\cdot370}.
Agora simplifique a fração: 27 e 18 têm fator comum 9, então
\frac{27}{18\cdot370}=\frac{3}{2\cdot370}=\frac{3}{740}.

Passo 6

Interpretando: a integral definida avaliou para uma fração simples e reduzida. É sempre bom conferir rapidamente a razão: o integrando é positivo no intervalo [1,2], então o resultado deve ser positivo — e \dfrac{3}{740} é positivo, consistente.

Resposta

\dfrac{3}{740}

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