Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral definida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Limites de integração:
até . - Integrando:
.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida. Nada mais é dado.
Passo 2
Escolha do método: observar o integrando. A presença de
no numerador e de uma função composta
no denominador sugere tentar uma substituição do tipo
porque a derivada de
é
, que é proporcional a
que aparece no numerador. Esta é uma técnica padrão: quando a integral tem a forma
ou algo parecido, a substituição
costuma simplificar muito.
Explicando a ideia da substituição: se colocarmos
, então
. Assim
pode ser trocado por uma constante vezes
, transformando a integral em uma integral em
mais simples.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente. Defina
Calcule
:
Também troque os limites da integral para a variável
:
Agora reescreva a integral em
. Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Calcular a integral em
. Use a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Portanto a integral definida é
Passo 5
Avaliar a expressão nos limites e simplificar as frações. Primeiro avalie o primitivo em
e em
:
Calcule a diferença dentro dos parênteses com denominador comum
:
Então
Agora simplifique a fração:
e
têm fator comum
, então
Passo 6
Interpretando: a integral definida avaliou para uma fração simples e reduzida. É sempre bom conferir rapidamente a razão: o integrando é positivo no intervalo
, então o resultado deve ser positivo — e
é positivo, consistente.