Calcule as integrais a seguir:
\int 3 x^{2} \cos \left(x^{3}\right) e^{\sin \left(x^{3}\right)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 3x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,e^{\sin\bigl(x^{3}\bigr)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integração, pois reconhecemos que a derivada de \sin(x^{3}) aparece junto com o resto do integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin\bigl(x^{3}\bigr).
Então a derivada de u em relação a x é
du = \frac{d}{dx}\bigl[\sin(x^{3})\bigr]\,dx = 3x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
Isso mostra que
3x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = du.
Com isso, a integral original em termos de u fica
\int e^{\sin(x^{3})}\,3x^{2}\cos(x^{3})\,dx = \int e^{u}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int e^{u}\,du = e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = \sin(x^{3}) de volta:
e^{u} + C = e^{\sin(x^{3})} + C.

Resposta

e^{\sin(x^{3})} + C

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