Calcule as integrais a seguir:
\int x^{2} e^{x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int x^{2}e^{x^{2}}\,dx.
Este é um caso em que reconhecemos a expressão x^{2} no expoente e que, após uma substituição adequada, ficará um integral do tipo \int t e^{t}dt, que resolve-se por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{2},\quad dt = 2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.
Então
x^{2}e^{x^{2}}\,dx = t\,e^{t}\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\,t\,e^{t}\,dt.

Passo 3

Precisamos calcular
\int t\,e^{t}\,dt.
Aplicamos integração por partes, escolhendo
u = t,\quad dv = e^{t}dt\quad\Longrightarrow\quad du = dt,\;v = e^{t}.
Logo
\int t\,e^{t}\,dt = t\,e^{t} - \int e^{t}dt = t\,e^{t} - e^{t} + C = (t-1)e^{t} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, temos
\int x^{2}e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int t\,e^{t}\,dt = \frac{1}{2}\bigl((t-1)e^{t}\bigr) + C = \frac{1}{2}(x^{2}-1)e^{x^{2}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(x^{2}-1)e^{x^{2}}}{2} + C

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