Encontre a derivada de:
f(x)=\ln \left(1-x e^{-x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = \ln\bigl(1 - x e^{-x}\bigr). Vamos usar a regra da cadeia para diferenciar o logaritmo natural e, dentro dela, a regra do produto para derivar x e^{-x}, além da derivada da função exponencial.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em \ln(u), obtemos
f'(x) = \frac{1}{1 - x e^{-x}}\;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl(1 - x e^{-x}\bigr).

Passo 3

Para calcular \tfrac{d}{dx}\bigl(1 - x e^{-x}\bigr), derivamos 1 (que dá 0) e x e^{-x} pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x} - x e^{-x}.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(1 - x e^{-x}\bigr) = -\bigl(e^{-x} - x e^{-x}\bigr) = e^{-x}(x - 1).

Passo 4

Substituindo na expressão de f'(x), fica
f'(x) = \frac{e^{-x}(x - 1)}{1 - x e^{-x}}.

Resposta

f'(x) = \frac{e^{-x}(x - 1)}{1 - x e^{-x}}.

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