Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int x\left(5+x^{2}\right)^{10} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x\bigl(5 + x^{2}\bigr)^{10}\,dx
usando o método de substituição de variáveis.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 5 + x^{2}.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x\bigl(5 + x^{2}\bigr)^{10}\,dx = \int u^{10}\,\bigl(\tfrac{1}{2}\,du\bigr) = \tfrac{1}{2}\int u^{10}\,du = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{u^{11}}{11} + C = \frac{u^{11}}{22} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que u=5+x^{2}, o resultado final é
\frac{\bigl(5 + x^{2}\bigr)^{11}}{22} + C.

Resposta

\frac{\bigl(5 + x^{2}\bigr)^{11}}{22} + C

Exercícios relacionados