Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int(\cos (3 x)-\operatorname{sen}(4 x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(\cos(3x)-\operatorname{sen}(4x)\bigr)\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo é integração de funções compostas, onde iremos usar substituições do tipo u = a x.

Passo 2

Para a parte \displaystyle \int \cos(3x)\,dx, fazemos a substituição
u = 3x \quad\Rightarrow\quad du = 3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Assim,
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u) = \frac{1}{3}\sin(3x).

Passo 3

Para a parte \displaystyle \int \bigl(-\operatorname{sen}(4x)\bigr)\,dx, fazemos a substituição
v = 4x \quad\Rightarrow\quad dv = 4\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{dv}{4}.
Logo,
\int -\operatorname{sen}(4x)\,dx = \int -\operatorname{sen}(v)\,\frac{dv}{4} = -\frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(v)\,dv = -\frac{1}{4}\bigl(-\cos(v)\bigr) = \frac{1}{4}\cos(v) = \frac{1}{4}\cos(4x).

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(\cos(3x)-\operatorname{sen}(4x)\bigr)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{4}\cos(4x) + C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{4}\cos(4x) + C}

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