1. ( 1,0 pts.) Avalie se a sequência a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}-3} converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}-3}
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo principal é cálculo de limite de sequência racional, usando a técnica de dividir numerador e denominador pelo termo de maior grau.

Passo 2

Para encontrar \lim_{n\to\infty}a_{n}, dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n} =\frac{n^{2}+1}{2n^{2}-3} =\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2-\frac{3}{n^{2}}}.
Como \frac{1}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{1+0}{2-0} =\frac12.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\tfrac12.

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