Encontre a derivada de:
v(x)=x^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de v(x)=x^{x}. O conteúdo principal aqui é diferenciação de funções onde tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para resolver, vamos usar a reescrita de x^{x} como exponencial de uma função, o que nos permite aplicar a regra da cadeia e do produto de forma mais direta.

Passo 2

Reescrevemos
v(x)=x^{x} = e^{\ln\bigl(x^{x}\bigr)} = e^{x\ln(x)}.
Essa reescrita só vale para x>0, mas é justamente o domínio em que a expressão está bem definida.

Passo 3

Para derivar v(x)=e^{x\ln(x)}, aplicamos a regra da cadeia. Se chamarmos u(x)=x\ln(x), então
v(x)=e^{u(x)} \quad\Longrightarrow\quad v'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).

Passo 4

Agora calculamos u'(x) para u(x)=x\ln(x). Aqui usamos a regra do produto entre x e \ln(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[x\ln(x)\bigr] = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(x) + 1.

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) em v'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x), temos
v'(x) = e^{x\ln(x)}\bigl(\ln(x)+1\bigr).
Voltando à forma original e^{x\ln(x)}=x^{x}, obtemos
v'(x) = x^{x}\bigl(\ln(x)+1\bigr).

Resposta

v'(x)=x^{x}\bigl(\ln(x)+1\bigr).

Exercícios relacionados