Resolva as seguintes integrais e diga qual a diferença entre elas:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá duas integrais parecidas e pede para resolvê-las e explicar a diferença entre elas:
- (a)
. - (b)
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Em (a) a variável de integração é
(o diferencial é ). - Em (b) a variável de integração é
(o diferencial é ), embora a expressão integranda apareça em termos de . - O enunciado pede (1) calcular cada integral quando possível e (2) explicar a diferença entre elas.
Passo 2
Resolver (a) passo a passo usando substituição. Ideia da técnica: quando a integranda tem uma função composta e sua derivada aparece (ou parte dela) multiplicando, é conveniente fazer uma substituição que torne a integral mais simples. Aqui vemos
multiplicando uma função de
, então a substituição natural é
Agora calculemos
. Diferenciando
em relação a
obtém-se
Isolando
temos
Passo 3
Continuando a substituição na integral (a). Reescrevendo a integral em termos de
:
Agora integramos um polinômio em
:
Voltando à variável original
(substituindo
):
Passo 4
Verificação (checagem por derivação) — sempre bom para ganhar confiança. Derive a resposta para ver se volta à integranda. Calcule
que é exatamente a integranda. Ótimo — a solução de (a) está confirmada.
Passo 5
Agora vamos à integral (b) e à discussão da diferença conceitual. A integral (b) é
Observação-chave sobre integrais: o símbolo de integração
indica com respeito a qual variável está sendo somado/antiderivado. Em (a) integrávamos em
; em (b) integra-se em
. Portanto a expressão em (b) só faz sentido numérico/fechada se soubermos como
depende de
(ou se
for tratado como constante em relação a
). Sem especificar a relação
, não é possível calcular de forma única a antiderivada em função de
.
Passo 6
Casos possíveis para (b):
- Caso 1:
é constante em relação a (por exemplo é um número). Então e são constantes e
- Caso 2:
é função de , isto é , mas não se dá a expressão de . Nesse caso a integral não pode ser avaliada explicitamente sem mais informação — a melhor que se pode escrever é a forma simbólica
que depende da forma de
.
Passo 7
Exemplos concretos em que
é função de
e podemos calcular:
- Se
(isto é, é exatamente a variável ), então e a integral (b) coincide com (a) com substituído por . Logo
- Se
com constante não nula, então , ou seja . Substituindo,
Usando o resultado de (a) obtemos
Exemplo específico: para
(ou seja
),
Passo 8
Forma geral quando
é conhecida como função de
. Se
é diferenciável e existe uma função
tal que
então
e
ou seja, a integral passa a ser uma integral em
com um fator extra
. Só se
for conhecido (ou simples) essa integral será computável por manipulação direta.
Passo 9
Resumo intuitivo e diferença principal (motivação prática para a prova):
- Em (a) a variável de integração é
. Tudo está pronto para aplicar substituição e encontrar uma antiderivada fechada: . - Em (b) a variável de integração é
. Se não for explicitamente dado como função de , a integral é indeterminada — não existe um único antiderivado em função de sem saber . Somente se tratar como constante, ou souber a relação , é que se pode avaliar (b). Em particular, se então (b) dá o mesmo resultado de (a) com no lugar de ; se aparece um fator .
Resposta
(a)
(b) Indeterminado sem saber a relação
. Casos úteis:
- Se
é constante: . - Se
: . - Se
(com ): .