Resolva as seguintes integrais e diga qual a diferença entre elas:
(a) \int v\left(v^{2}+2\right)^{2} d v.
(b) \int v\left(v^{2}+2\right)^{2} d x.

Passo 1

O enunciado dá duas integrais parecidas e pede para resolvê-las e explicar a diferença entre elas:
  • (a) \displaystyle \int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d v.
  • (b) \displaystyle \int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d x.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Em (a) a variável de integração é v (o diferencial é d v).
  • Em (b) a variável de integração é x (o diferencial é d x), embora a expressão integranda apareça em termos de v.
  • O enunciado pede (1) calcular cada integral quando possível e (2) explicar a diferença entre elas.

Passo 2

Resolver (a) passo a passo usando substituição. Ideia da técnica: quando a integranda tem uma função composta e sua derivada aparece (ou parte dela) multiplicando, é conveniente fazer uma substituição que torne a integral mais simples. Aqui vemos v multiplicando uma função de v^{2}+2, então a substituição natural é
u = v^{2}+2.
Agora calculemos d u. Diferenciando \,u=v^{2}+2 em relação a v obtém-se
d u = 2v\,d v.
Isolando v\,d v temos
v\,d v = \frac{1}{2}\,d u.

Passo 3

Continuando a substituição na integral (a). Reescrevendo a integral em termos de u:
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d v = \int \left(u^{2}\right)\left(v\,d v\right) = \int u^{2}\left(\frac{1}{2}\,d u\right) = \frac{1}{2}\int u^{2}\,d u.
Agora integramos um polinômio em u:
\frac{1}{2}\int u^{2}\,d u = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3}}{3}+C = \frac{u^{3}}{6}+C.
Voltando à variável original v (substituindo u=v^{2}+2):
\boxed{\displaystyle \int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d v = \frac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6}+C.}

Passo 4

Verificação (checagem por derivação) — sempre bom para ganhar confiança. Derive a resposta para ver se volta à integranda. Calcule
\frac{d}{d v}\left(\frac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6}\right) = \frac{1}{6}\cdot 3\left(v^{2}+2\right)^{2}\cdot \frac{d}{d v}\left(v^{2}+2\right) = \frac{1}{2}\left(v^{2}+2\right)^{2}\cdot 2v = v\left(v^{2}+2\right)^{2},
que é exatamente a integranda. Ótimo — a solução de (a) está confirmada.

Passo 5

Agora vamos à integral (b) e à discussão da diferença conceitual. A integral (b) é
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d x.
Observação-chave sobre integrais: o símbolo de integração \int \cdot \,d(\cdot) indica com respeito a qual variável está sendo somado/antiderivado. Em (a) integrávamos em v; em (b) integra-se em x. Portanto a expressão em (b) só faz sentido numérico/fechada se soubermos como v depende de x (ou se v for tratado como constante em relação a x). Sem especificar a relação v=v(x), não é possível calcular de forma única a antiderivada em função de x.

Passo 6

Casos possíveis para (b):
  • Caso 1: v é constante em relação a x (por exemplo v é um número). Então v e \left(v^{2}+2\right)^{2} são constantes e
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d x = v\left(v^{2}+2\right)^{2}\int d x = v\left(v^{2}+2\right)^{2} x + C.
  • Caso 2: v é função de x, isto é v=v(x), mas não se dá a expressão de v(x). Nesse caso a integral não pode ser avaliada explicitamente sem mais informação — a melhor que se pode escrever é a forma simbólica
\int v(x)\left(v(x)^{2}+2\right)^{2}\,d x,
que depende da forma de v(x).

Passo 7

Exemplos concretos em que v é função de x e podemos calcular:
  • Se v(x)=x (isto é, v é exatamente a variável x), então d v=d x e a integral (b) coincide com (a) com v substituído por x. Logo
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d x \quad\text{com }v(x)=x \quad=\quad \int x\left(x^{2}+2\right)^{2}\,d x = \frac{\left(x^{2}+2\right)^{3}}{6}+C.
  • Se v(x)=a x com a constante não nula, então d v = a\,d x, ou seja d x = \frac{1}{a}\,d v. Substituindo,
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d x = \int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\cdot\frac{1}{a}\,d v = \frac{1}{a}\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d v.
Usando o resultado de (a) obtemos
\frac{1}{a}\cdot\frac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6}+C = \frac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6a}+C.
Exemplo específico: para v(x)=3x (ou seja a=3),
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d x = \frac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{18}+C.

Passo 8

Forma geral quando \dfrac{d v}{d x} é conhecida como função de v. Se v é diferenciável e existe uma função g tal que
\frac{d v}{d x}=g(v),
então d x = \dfrac{d v}{g(v)} e
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,d x = \int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\cdot\frac{1}{g(v)}\,d v = \int \frac{v\left(v^{2}+2\right)^{2}}{g(v)}\,d v,
ou seja, a integral passa a ser uma integral em v com um fator extra \dfrac{1}{g(v)}. Só se g(v) for conhecido (ou simples) essa integral será computável por manipulação direta.

Passo 9

Resumo intuitivo e diferença principal (motivação prática para a prova):
  • Em (a) a variável de integração é v. Tudo está pronto para aplicar substituição e encontrar uma antiderivada fechada: \dfrac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6}+C.
  • Em (b) a variável de integração é x. Se v não for explicitamente dado como função de x, a integral é indeterminada — não existe um único antiderivado em função de x sem saber v(x). Somente se tratar v como constante, ou souber a relação v(x), é que se pode avaliar (b). Em particular, se v=x então (b) dá o mesmo resultado de (a) com x no lugar de v; se v=a x aparece um fator 1/a.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6}+C
(b) Indeterminado sem saber a relação v=v(x). Casos úteis:
  • Se v é constante: \displaystyle v\left(v^{2}+2\right)^{2}x+C.
  • Se v(x)=x: \displaystyle \frac{\left(x^{2}+2\right)^{3}}{6}+C.
  • Se v(x)=a x (com a\neq0): \displaystyle \frac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6a}+C.

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