Calcule as integrais a seguir:
integral cos 2 x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada da função cos(2x),sin x. Vamos usar o método de substituição, que consiste em escolher uma expressão u cuja derivada apareça (até constante) no integrando, transformando a integral trigonométrica numa integral polinomial em u.

Passo 2

Fazemos a escolha natural
u = cos x,
portanto
du = -sin x,dx Longrightarrow sin x,dx = -,du
Também reapresentamos cos(2x) em função de u:
cos(2x) = 2cos^2 x - 1 = 2u^2 - 1

Passo 3

Substituindo na integral original
integral cos(2x),sin x,dx = integral (2u^2 - 1),(-du) = -integral (2u^2 - 1),du

Passo 4

Agora é só integrar o polinômio em u:
-integral (2u^2 - 1),du = -gl(tfrac2u^33 - ugr) + C = -tfrac2u^33 + u + C

Passo 5

Voltando à variável x (isto é, u=cos x), obtemos
-tfrac2(cos x)^33 + cos x + C = cos x - tfrac23cos^3 x + C

Resposta

integral cos(2x),sin x,dx = cos x - tfrac23cos^3 x + C

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