Calcule as integrais a seguir:
integral0^1 / 2 arcsen x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular integral0^1/2 arcsin x , dx. O conteúdo principal é usar integração por partes e, depois, uma mudança de variável para tratar a integral resultante.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, tomamos
u = arcsin x, dv = dx
Então
du = dxraiz1 - x^2, v = x

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes:
integral0^1/2 arcsin x , dx = [x,arcsin x]0^1/2 - integral0^1/2 xraiz1 - x^2 , dx
Em x=tfrac12 temos x,arcsin x = tfrac12cdottfracpi6 = tfracpi12, e em x=0 vale zero. Logo o termo de contorno é tfracpi12.

Passo 4

Resta calcular
integral0^1/2 xraiz1 - x^2 , dx
Fazemos a substituição
t = 1 - x^2, dt = -2x,dx ;Longrightarrow; x,dx = -tfrac12,dt
Os limites vão de t(0)=1 a t(tfrac12)=1-tfrac14=tfrac34, de modo que
integral0^1/2 xraiz1 - x^2 , dx = -tfrac12 integral1^3/4 t^-1/2,dt

Passo 5

Calculando a integral em t:
-tfrac12 integral1^3/4 t^-1/2,dt = -tfrac12 [2,t^1/2]1^3/4 = -l(raiztfrac34-1r) = 1 - tfracraiz32

Passo 6

Substituindo em I obtemos
I = integral0^1/2 arcsin x , dx = tfracpi12 - l(1 - tfracraiz32r) = tfracraiz32 + tfracpi12 - 1

Resposta

raiz32 + pi12 - 1

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