Calcule as integrais a seguir:
integral x^2 e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2e^-x,dx
O conteúdo envolvido é integração por partes, usando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = e^-x,dx
Então
du = 2x,dx, v = integral e^-x,dx = -e^-x
Aplicando integração por partes:
integral x^2e^-x,dx = u,v - integral v,du = -x^2e^-x - integrall(-e^-xcdot 2xr),dx = -x^2e^-x + 2integral x,e^-x,dx

Passo 3

Vamos calcular agora
I1 = integral x,e^-x,dx
por partes de novo, tomando
u = x, dv = e^-x,dx
du = dx, v = -e^-x
Logo,
I1 = u,v - integral v,du = -x,e^-x - integrall(-e^-xr),dx = -x,e^-x + integral e^-x,dx = -x,e^-x - e^-x

Passo 4

Substituindo I1 na expressão do Passo 2:
integral x^2e^-x,dx = -x^2e^-x + 2l(-x,e^-x - e^-xr) + C = -x^2e^-x - 2x,e^-x - 2e^-x + C
Fatorando -e^-x:
integral x^2e^-x,dx = -l(x^2 + 2x + 2r)e^-x + C

Resposta

integral x^2e^-x,dx = -l(x^2 + 2x + 2r)e^-x + C

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