Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
até
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre como calcular integrais definidas. Para resolver esse problema, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral definida
calcula a área sob a curva da função
entre os pontos
e
. No nosso caso, a função é
, e queremos encontrar a área sob essa curva de
até
.
Passo 3
Vamos simplificar a função que vamos integrar. A expressão
pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica:
Isso porque sabemos que:
Portanto, podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Agora, vamos integrar
. Para integrar
, usamos a identidade de potência:
Já usamos essa identidade antes, então nossa integral se torna:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a primitiva da função é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar na integral definida.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
. Vamos substituir os limites na primitiva:
Primeiro, calculamos para
:
Sabemos que
, então:
Agora, para
:
Sabemos que
, então:
Subtraindo os dois resultados:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.