Calcule as integrais a seguir.
integral-pi / 3^pi / 3 1-cos 2 theta2 d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de 1 - cos 2theta2 no intervalo de -pi3 até pi3. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre como calcular integrais definidas. Para resolver esse problema, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral definida integrala^b f(theta) , dtheta calcula a área sob a curva da função f(theta) entre os pontos theta = a e theta = b. No nosso caso, a função é 1 - cos 2theta2, e queremos encontrar a área sob essa curva de -pi3 até pi3.

Passo 3

Vamos simplificar a função que vamos integrar. A expressão 1 - cos 2theta2 pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica:
1 - cos 2theta2 = sin^2 theta
Isso porque sabemos que:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Portanto, podemos reescrever a integral como:
integral-pi/3^pi/3 sin^2 theta , dtheta

Passo 4

Agora, vamos integrar sin^2 theta. Para integrar sin^2 theta, usamos a identidade de potência:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Já usamos essa identidade antes, então nossa integral se torna:
integral sin^2 theta , dtheta = integral 1 - cos 2theta2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta - 12 integral cos 2theta , dtheta
Vamos integrar termo a termo:
12 integral 1 , dtheta = 12 theta
12 integral cos 2theta , dtheta = 12 cdot sin 2theta2 = sin 2theta4
Então, a primitiva da função é:
12 theta - sin 2theta4 + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar na integral definida.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de -pi3 a pi3. Vamos substituir os limites na primitiva:
[ 12 theta - sin 2theta4 ]-pi/3^pi/3
Primeiro, calculamos para theta = pi3:
12 cdot pi3 - sin (2 cdot pi3)4 = pi6 - sin (2pi3)4
Sabemos que sin 2pi3 = raiz32, então:
pi6 - raiz3/24 = pi6 - raiz38
Agora, para theta = -pi3:
12 cdot (-pi3) - sin (2 cdot (-pi3))4 = -pi6 - sin (-2pi3)4
Sabemos que sin (-2pi3) = -raiz32, então:
-pi6 - (-raiz3/24) = -pi6 + raiz38
Subtraindo os dois resultados:
( pi6 - raiz38 ) - ( -pi6 + raiz38 ) = pi6 + pi6 - raiz38 - raiz38
Simplificando:
pi3 - raiz34

Resposta

O valor da integral é pi3 - raiz34.

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