Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+10 y=8 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' - 7y' + 10y = 8e^2x
Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois obter uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 7y' + 10y = 0
Assumimos y=e^rx e obtemos a equação característica
r^2 - 7r + 10 = 0
As raízes são
r = 2, r = 5
Logo a solução complementar (homogênea) é
yc(x) = C1 e^2x + C2 e^5x

Passo 3

O termo não homogêneo é 8e^2x, e r=2 já é raiz simples da característica. Então fazemos o palpite
yp(x) = A x e^2x
Calculamos as derivadas:
yp' = A e^2x(1 + 2x),
yp'' = A e^2x(2 + 4x)
Substituindo na equação original:
yp'' - 7yp' + 10yp = A e^2x(2+4x) -7A e^2x(1+2x) +10A x e^2x = A e^2xl(2-7 +4x -14x +10xr) = A e^2x(-5)
Queremos que isso seja igual a 8e^2x, portanto
-5A = 8 Longrightarrow A = -tfrac85

Passo 4

Somando a solução complementar e a particular, a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^5x - 85,x,e^2x

Resposta

boxedy(x) = C1 e^2x + C2 e^5x - 85,x,e^2x

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