Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+10 y=8 e^{2 x}
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+10 y=8 e^{2 x}
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois obter uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
A equação homogênea é
Assumimos
e obtemos a equação característica
As raízes são
Logo a solução complementar (homogênea) é
Passo 3
O termo não homogêneo é
, e
já é raiz simples da característica. Então fazemos o palpite
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Queremos que isso seja igual a
, portanto
Passo 4
Somando a solução complementar e a particular, a solução geral é