Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-2 y{\prime}=e{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - 2y' = e^x sin x
Isto é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos obter a solução geral como
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução da homogênea e yp uma solução particular do não-homogêneo.

Passo 2

Vamos primeiro achar a solução homogênea. A EDO homogênea é
y'' - 2y' = 0
A equação característica associada é
r^2 - 2r = 0 Longrightarrow r(r-2)=0,
cuja raízes são r=0 e r=2. Logo
yh(x) = C1 + C2 e^2x

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo não-homogêneo é e^xsin x, que sugere tentar
yp(x) = e^xl(Asin x + Bcos xr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Vamos calcular yp' e yp''.
Mostrando apenas o resultado compacto:
yp' = e^xl((A - B)sin x + (A + B)cos xr),
yp'' = e^xl(-2Bsin x + 2Acos xr)
Então
yp'' - 2yp' = e^xl(-2Bsin x + 2Acos xr) - 2,e^xl((A - B)sin x + (A + B)cos xr) = e^xl(-2Asin x - 2Bcos xr)

Passo 5

Queremos que
yp'' - 2yp' = e^xsin x
Comparando coeficientes de sin x e cos x em
e^xl(-2Asin x -2Bcos xr) = e^xsin x,
obtemos o sistema
-2A = 1, -2B = 0 Longrightarrow A = -tfrac12,; B=0

Passo 6

Logo
yp(x) = e^xl(-tfrac12sin x + 0cdotcos xr) = -tfrac12,e^xsin x
A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^2x ;-;tfrac12,e^xsin x

Resposta

y(x) = C1 + C2e^2x - 12e^xsin x

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