Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-2 y{\prime}=e{x} \operatorname{sen} x
y^{\prime \prime}-2 y{\prime}=e{x} \operatorname{sen} x
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
Isto é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos obter a solução geral como
onde
é a solução da homogênea e
uma solução particular do não-homogêneo.
Passo 2
Vamos primeiro achar a solução homogênea. A EDO homogênea é
A equação característica associada é
cuja raízes são
e
. Logo
Passo 3
Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo não-homogêneo é
, que sugere tentar
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Vamos calcular
e
.
Mostrando apenas o resultado compacto:
Mostrando apenas o resultado compacto:
Então
Passo 5
Queremos que
Comparando coeficientes de
e
em
obtemos o sistema
Passo 6
Logo
A solução geral é