Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=3 \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = 3sin(2x)
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois uma particular para o termo forçante 3sin(2x).

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica associada
r^2 - 4r + 3 = 0
Fatorando, (r-1)(r-3)=0, logo as raízes são r=1 e r=3. Assim a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^3x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 3sin(2x), suponho uma particular da forma
yp = Acos(2x) + Bsin(2x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculo yp' e yp'':
yp' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x), yp'' = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)
Substituindo em y'' - 4y' + 3y, obtemos
(-4Acos -4Bsin) -4(-2Asin +2Bcos) +3(Acos +Bsin)
= (-A -8B)cos(2x) + (8A - B)sin(2x)
Isso deve ser igual a 3sin(2x), ou seja
(-A - 8B)cos(2x) + (8A - B)sin(2x) = 0cdotcos(2x) + 3sin(2x)

Passo 5

Igualando coeficientes das funções trigonométricas:
-A - 8B = 0, 8A - B = 3
Da primeira equação A = -8B. Substituindo na segunda:
8(-8B) - B = 3 implies -64B - B = 3 implies -65B = 3 implies B = -tfrac365,
A = -8l(-tfrac365r) = tfrac2465
Logo
yp = 2465cos(2x) - 365sin(2x)

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 e^x + C2 e^3x + 2465cos(2x) - 365sin(2x)

Resposta

boxedy(x) = C1 e^x + C2 e^3x + 2465cos(2x) - 365sin(2x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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