Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=3 \operatorname{sen}(2 x)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois uma particular para o termo forçante .
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos a equação característica associada
Fatorando, , logo as raízes são e . Assim a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é , suponho uma particular da forma
onde e são constantes a determinar.
Passo 4
Calculo e :
Substituindo em , obtemos
Isso deve ser igual a , ou seja
Passo 5
Igualando coeficientes das funções trigonométricas:
Da primeira equação A = -8B. Substituindo na segunda:
8(-8B) - B = 3 implies -64B - B = 3 implies -65B = 3 implies B = -tfrac365,
A = -8l(-tfrac365r) = tfrac2465
Logo
yp = 2465cos(2x) - 365sin(2x)
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma de yh com yp: