Faça o gráfico da função e determine seu valor médio ao longo do intervalo dado.
f(x)=3 x^3-3 em[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função f(x) = 3x^3 - 3 no intervalo de [0, 1] e descobrir o valor médio dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de valor médio, que envolve integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = 3x^3 - 3 . É um polinômio de terceiro grau, então o gráfico vai ter uma curva suave. Para desenhá-lo, vamos calcular alguns valores de f(x) para x entre 0 e 1.
Por exemplo:
  • Quando x = 0 : f(0) = 3(0)^3 - 3 = -3
  • Quando x = 0.5 : f(0.5) = 3(0.5)^3 - 3 = 3(0.125) - 3 = 0.375 - 3 = -2.625
  • Quando x = 1 : f(1) = 3(1)^3 - 3 = 3 - 3 = 0
Com esses pontos, a gente pode desenhar uma curva que passa por eles, mostrando como a função se comporta no intervalo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor médio da função f(x) no intervalo [0, 1] . O valor médio de uma função em um intervalo é dado pela fórmula:
Valor Médio = 1b - a integrala^b f(x) , dx é
Aqui, a = 0 e b = 1 , então:
Valor Médio = integral0^1 f(x) , dx é
Vamos substituir f(x) :
Valor Médio = integral0^1 (3x^3 - 3) , dx é

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral (3x^3 - 3) , dx = 34x^4 - 3x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ 34(1)^4 - 3(1) ] - [ 34(0)^4 - 3(0) ] = ( 34 - 3 ) - (0 - 0) = 34 - 3 = -94
Então, o valor médio é:
Valor Médio = -94 = -2.25 é

Resposta

O valor médio da função f(x) = 3x^3 - 3 no intervalo de [0, 1] é -2.25.

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