Calcule as integrais a seguir:
integral sen^5 / 2 x cos ^3 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^5/2x,cos^3 x,dx
O conteúdo aqui é integração de potências de seno e cosseno, e vamos precisar usar a identidade cos^2x=1-sin^2x e em seguida a substituição u=sin x.

Passo 2

Reescrevemos
cos^3x=cos^2xcdotcos x=(1-sin^2x)cos x,
então a integral vira
integral sin^5/2x,(1-sin^2x),cos x,dx

Passo 3

Fazendo u=sin x implica du=cos x,dx. Assim
integral sin^5/2x,(1-sin^2x),cos x,dx =integral u^5/2,(1-u^2),du =integrall(u^5/2-u^9/2r),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral u^5/2,du=u^7/27/2=27u^7/2, integral u^9/2,du=u^11/211/2=211u^11/2
Logo a primitiva em u é
27u^7/2-211u^11/2+C

Passo 5

Voltando a x com u=sin x, obtemos
27,sin^7/2x-211,sin^11/2x + C

Resposta

integral sin^5/2x,cos^3 x,dx =27,sin^7/2x-211,sin^11/2x + C

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