Sejam f(t)=t i+2 t^2 j+3 t^3 k e g(t)=3 t i-2 j+4 t^2 k. Calcule:
lim t 1[f(t) times g(t)]

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais vec f(t) e vec g(t), definidas por polinômios em t, e pede o limite limtto1[vec f(t)timesvec g(t)]. Como produto vetorial é bilinear e cada componente é polinomial, podemos calcular vec f(t)timesvec g(t) simbolicamente e depois substituir t=1.

Passo 2

Relembrando a fórmula do produto vetorial entre vec f(t)=(f1,f2,f3) e vec g(t)=(g1,g2,g3):
vec ftimesvec g = (f2g3 - f3g2),vec i + (f3g1 - f1g3),vec j + (f1g2 - f2g1),vec k

Passo 3

Identificando as componentes
f1=t, f2=2t^2, f3=3t^3, g1=3t, g2=-2, g3=4t^2,
temos
f2g3 - f3g2 = 2t^2cdot4t^2 - 3t^3cdot(-2) = 8t^4 + 6t^3,
f3g1 - f1g3 = 3t^3cdot3t - tcdot4t^2 = 9t^4 - 4t^3,
f1g2 - f2g1 = tcdot(-2) - 2t^2cdot3t = -2t - 6t^3
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vec f(t)timesvec g(t) = (8t^4+6t^3),vec i + (9t^4-4t^3),vec j + (-2t-6t^3),vec k

Passo 4

Como cada componente é polinomial, o limite quando tto1 é obtido substituindo t=1:
8cdot1^4+6cdot1^3 = 14, 9cdot1^4-4cdot1^3 = 5, -2cdot1 -6cdot1^3 = -8
Portanto
limtto1[vec f(t)timesvec g(t)] = 14,vec i +5,vec j -8,vec k

Resposta

14,vec i +5,vec j -8,vec k

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