Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
a) y cdot e^sen x=x cdot cos y,(0,0)
b) y^2(6-x)=x^3,(2, raiz2) (Essa curva é chamada cissoide de Diocles)

Passo 1

Estamos diante de curvas definidas de forma implícita e o objetivo é achar a reta tangente em cada ponto dado. Para isso, vamos usar derivação implícita, aplicando as regras do produto e da cadeia para obter y' e depois montar a equação da reta com coeficiente angular m=y'l(x0,y0r).

Passo 2

Vamos ao item (a):
y,e^sin x=xcos y
Derivando em ambos os lados em relação a x, usando produto e cadeia, temos
ddxl(y,e^sin xr) =ddxl(xcos yr)
y',e^sin x+y,e^sin xcos x =cos y - xsin y;y'
Colocando os termos com y' no primeiro membro:
y'l(e^sin x+xsin yr) =cos y - y,e^sin xcos x
Logo,
y' =cos y - y,e^sin xcos xe^sin x+xsin y
No ponto (0,0) temos sin0=0, cos0=1, y(0)=0, de onde
y'(0,0)=1-0e^0+0=1

Passo 3

Com coeficiente angular m=1 e passando por (0,0), a reta tangente é
y-0 = 1,(x-0) Longrightarrow y = x

Passo 4

Agora o item (b):
y^2(6-x)=x^3
Derivando implicitamente:
ddxl(y^2(6-x)r)=ddx(x^3)
2y,y',(6-x) + y^2cdot(-1)=3x^2
Isto é,
2y(6-x),y' - y^2 = 3x^2 Longrightarrow y' = 3x^2 + y^22y(6-x)
No ponto l(2,raiz2r) temos 6-2=4 e y^2=2, então
y' = 3cdot2^2 + 22raiz2cdot4 =12+28raiz2 =148raiz2 =74raiz2 =7raiz28

Passo 5

Com m=tfrac7raiz28 e ponto l(2,raiz2r), a reta tangente é
y-raiz2 = 7raiz28,(x-2)

Resposta

a) y = x
b) y - raiz2 = dfrac7raiz28,(x-2)

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