Calcule as integrais a seguir:
integral0^pi / 2 sen 2 x cos 3 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/2sin 2xcos 3x,dx
O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade de produto-para-soma para reescrever o produto sin2xcos3x como soma de senos.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin Acos B = 12l(sin(A+B)+sin(A-B)r)
com A=2x e B=3x. Assim,
sin2xcos3x = 12l(sin5x+sin(-x)r) = 12l(sin5x - sin xr)

Passo 3

Substituindo no integrando e separando a integral, obtemos
integral0^pi/2sin2xcos3x,dx = 12integral0^pi/2l(sin5x - sin xr),dx

Passo 4

Vamos achar uma primitiva de cada termo:
integralsin5x,dx = -15cos5x, integralsin x,dx = -cos x
Logo, uma primitiva da função integrada é
F(x) = 12l(-tfrac15cos5x + cos xr)

Passo 5

Agora avaliamos F nos limites 0 e tfracpi2:
Fl(tfracpi2r) = 12l(-tfrac15cos(5cdottfracpi2) + costfracpi2r) = 12(0+0)=0,
pois cos(5pi/2)=0 e cos(pi/2)=0.
F(0) = 12l(-tfrac15cos0 + cos0r) = 12l(-tfrac15+1r) = 25

Passo 6

Subtraindo os valores nos limites, temos
integral0^pi/2sin2xcos3x,dx = Fl(tfracpi2r) - F(0) = 0 - 25 = -25

Resposta

-tfrac25

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