Exercício 8: Efetue as operações e simplifique:
  1. 1x+2x^2-2 x-6x^2-4
    x-1x^2+4 x+3-x-4x^2-x-2

Passo 1

O enunciado pede para efetuar operações e simplificar duas expressões racionais. O conteúdo envolve soma e subtração de frações algébricas, procedimentos de fatoração de denominadores, obtenção de denominador comum, combinação de numeradores e cancelamento de fatores.

Passo 2

Considere a primeira expressão
1x+2x^2-2x-6x^2-4
Fatoramos os denominadores:
x^2-2x = x(x-2), x^2-4 = (x-2)(x+2)

Passo 3

O denominador comum é x,(x-2),(x+2). Reescrevendo cada parcela com esse denominador:
1x = (x-2)(x+2)x(x-2)(x+2), 2x(x-2) = 2(x+2)x(x-2)(x+2), -6(x-2)(x+2) = -6xx(x-2)(x+2)

Passo 4

Somamos os numeradores:
(x-2)(x+2) + 2(x+2) - 6x = (x^2-4) + (2x+4) - 6x = x^2 -4x
Logo a expressão vira
x^2-4xx(x-2)(x+2) = x(x-4)x(x-2)(x+2) = x-4(x-2)(x+2)

Passo 5

Agora a segunda expressão
x-1x^2+4x+3 - x-4x^2-x-2
Fatoramos os denominadores:
x^2+4x+3 = (x+1)(x+3), x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)

Passo 6

O denominador comum é (x+1)(x+3)(x-2). Reescrevemos:
x-1(x+1)(x+3) = (x-1)(x-2)(x+1)(x+3)(x-2), x-4(x-2)(x+1) = (x-4)(x+3)(x+1)(x+3)(x-2)

Passo 7

Subtraindo numeradores:
(x-1)(x-2) - (x-4)(x+3) = (x^2-3x+2) - (x^2 - x -12) = -2x + 14 = -2(x-7)
Portanto
-2(x-7)(x+1)(x+3)(x-2) = 2(7-x)(x+1)(x+3)(x-2)

Resposta

  1. x-4(x-2)(x+2)
  2. 2(7-x)(x+1)(x+3)(x-2)

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