Determine a equação vetorial e equações paramétricas para a reta:
que passa pelo ponto (2, 2410, 72) e é paralela ao vetor v=(3,2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! O que a gente precisa fazer aqui é determinar tanto a equação vetorial quanto as equações paramétricas de uma reta. A reta que a gente quer encontrar passa pelo ponto (2, 2410, 72) e é paralela ao vetor v = (3, 2, -1). Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar uma reta no espaço usando um ponto conhecido e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a equação vetorial de uma reta. A equação vetorial é uma forma compacta de representar todos os pontos que estão na reta. Ela é dada por:
r = r0 + t cdot v
Onde:
  • r é o vetor posição de um ponto qualquer na reta.
  • r0 é o vetor posição de um ponto específico na reta (no nosso caso, (2, 2410, 72)).
  • t é um parâmetro real.
  • v é o vetor diretor da reta (no nosso caso, v = (3, 2, -1)).
Então, substituindo os valores que temos:
r = (2, 2410, 72) + t cdot (3, 2, -1)
Essa é a equação vetorial da reta que estamos procurando.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas separam cada coordenada do vetor posição em função do parâmetro t. Isso nos dá três equações, uma para cada coordenada x, y e z.
Usando a equação vetorial que encontramos:
r = (2, 2410, 72) + t cdot (3, 2, -1)
Podemos escrever cada componente separadamente:
Para x:
x = 2 + 3t
Para y:
y = 2410 + 2t
Para z:
z = 72 - t

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r = (2, 2410, 72) + t cdot (3, 2, -1)
E as equações paramétricas da reta são:
x = 2 + 3t y = 2410 + 2t z = 72 - t
Onde t é um parâmetro real.

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