Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=\frac{1+e{x}}{x{3}}

Passo 1

Temos a função
f(x)=1+e^xx^3,
e precisamos encontrar f'(x) usando regras de derivação (regra do quociente ou, mais simples, combinando regra do produto e da potência).

Passo 2

Reescrevemos
f(x) = (1+e^x),x^-3
Dessa forma, vamos derivar somando a derivada de cada parcela, lembrando que a derivada do produto u(x),v(x) é
(u'v + u,v')

Passo 3

Separamos em duas parcelas:
  1. u(x)=1 e v(x)=x^-3.
  2. u(x)=e^x e v(x)=x^-3.
Derivamos cada uma:
  • Para 1cdot x^-3, como 1'=0 e (x^-3)'=-3x^-4, a derivada é 0cdot x^-3 + 1cdot(-3x^-4) = -3x^-4
  • Para e^x,x^-3, usando produto: (e^x)',x^-3 + e^x,(x^-3)' = e^x,x^-3 + e^x,(-3x^-4) = e^xx^-3 - 3e^xx^-4

Passo 4

Somando as duas parcelas derivadas:
f'(x) = -3x^-4 + l(e^xx^-3 - 3e^xx^-4r) = e^xx^-3 -3x^-4 -3e^xx^-4

Passo 5

Fatoramos x^-4 para simplificar:
f'(x) = x^-4l(e^xx -3 -3e^xr) = x,e^x -3(1+e^x)x^4

Resposta

f'(x)=x,e^x-3l(1+e^xr)x^4

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