Calcule as integrais a seguir.
integral0^1 4 d uraiz4-u^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^14,duraiz4 - u^2
Este é um caso clássico de integral que envolve a forma integral du/raiza^2-u^2, cuja primitiva é arcsin(u/a). Podemos resolver por substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2sintheta, du = 2costheta,dtheta, raiz4-u^2 = raiz4-4sin^2theta = 2costheta

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral 4,duraiz4-u^2 = integral 4,(2costheta,dtheta)2costheta = integral 4,dtheta

Passo 4

Agora ajustamos os limites. Quando u=0, temos 0 = 2sintheta Rightarrow theta=0. Quando u=1,
1 = 2sintheta Longrightarrow sintheta = tfrac12 Longrightarrow theta = tfracpi6
Logo a integral vira
integral0^14,duraiz4-u^2 = integral0^pi/64,dtheta = 4l[thetar]0^pi/6 = 4cdotpi6 = 2pi3

Resposta

2pi3

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