Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
y^prime=5 y-4 xy

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y' = 5,y - 4,xy
Aqui vamos usar a substituição
u = y^2,
que tipicamente transforma equações com termo tfracxy numa EDO linear em u. Em seguida, vamos aplicar o método do fator integrante para resolver a EDO linear resultante.

Passo 2

Definindo
u = y^2,
temos
dudx = 2,y,dydx = 2,yl(5,y - 4,xyr) = 10,y^2 - 8,x
Como y^2 = u, isso vira
dudx = 10,u - 8,x,
ou seja
dudx - 10,u = -8,x

Passo 3

Para resolver
dudx - 10,u = -8,x
identificamos o fator integrante
mu(x) = e^integral -10,dx = e^-10x
Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
ddxl(u,e^-10xr) = -8,x,e^-10x

Passo 4

Agora integramos em x:
integral ddxl(u,e^-10xr),dx = integral -8,x,e^-10x,dx
No lado direito, fazemos integração por partes com
I = integral x,e^-10x,dx
Tomando v = x, dw = e^-10xdx, obtemos
I = -x,e^-10x10 - integrall(-110e^-10xr)dx = -x,e^-10x10 + e^-10x100 + C1
Multiplicando por -8
integral -8,x,e^-10x,dx = 45,x,e^-10x + 225,e^-10x + C

Passo 5

Logo
u,e^-10x = 45,x,e^-10x + 225,e^-10x + C
Multiplicando por e^10x resulta
u(x) = y^2 = C,e^10x + 45,x + 225

Passo 6

Voltando para y, tiramos raiz quadrada (e lembramos do sinal pm pois a EDO só determina y^2):
y(x) = pm raiz,C,e^10x + 45,x + 225,

Resposta

boxedy(x) = pm raizC,e^10x + tfrac45,x + tfrac225,
onde C é constante arbitrária.

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