Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}=2 x+3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 3ª ordem
y''' - 5y'' + 6y' = 2x + 3e^2x
Vamos usar o princípio da superposição: a solução geral é soma da solução homogênea e de uma solução particular, usando o método dos coeficientes a indeterminada.

Passo 2

A homogênea associada é
y''' - 5y'' + 6y' = 0
A equação característica é
r^3 - 5r^2 + 6r = r(r-2)(r-3)=0,
cujas raízes são r=0,2,3. Logo
yh = C1 + C2e^2x + C3e^3x

Passo 3

Para o termo polinomial 2x, como r=0 é raiz simples, multiplicamos o ansatz polinomial de grau 1 por x:
yp1 = Ax^2 + Bx
Suas derivadas são
yp1' = 2Ax + B, yp1'' = 2A, yp1''' = 0
Substituindo em y'''-5y''+6y' vem
0 -5(2A) +6(2Ax + B) = 12A x + (6B -10A),
que deve igualar 2x. Assim
12A = 2, 6B - 10A = 0 Longrightarrow A = tfrac16,; B = tfrac518
Portanto
yp1 = tfrac16x^2 + tfrac518x

Passo 4

Para o termo 3e^2x, já que r=2 é raiz simples, usamos
yp2 = Cx e^2x
Então
yp2' = C(1+2x)e^2x, yp2'' = C(4+4x)e^2x, yp2''' = C(12+8x)e^2x
Substituindo:
y''' -5y'' +6y' = C e^2xl[(12+8x)-5(4+4x)+6(1+2x)r] = -2C e^2x,
que deve ser 3e^2x. Logo -2C=3 e C=-tfrac32. Assim
yp2 = -tfrac32x e^2x

Passo 5

A solução geral é
y = yh + yp1 + yp2 = C1 + C2e^2x + C3e^3x + tfrac16x^2 + tfrac518x - tfrac32x e^2x

Resposta

y(x) = C1 + C2e^2x + C3e^3x + 16x^2 + 518x - 32,x,e^2x

Exercícios relacionados