Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}=2 x+3 e^{2 x}
y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}=2 x+3 e^{2 x}
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 3ª ordem
Vamos usar o princípio da superposição: a solução geral é soma da solução homogênea e de uma solução particular, usando o método dos coeficientes a indeterminada.
Passo 2
A homogênea associada é
A equação característica é
cujas raízes são
. Logo
Passo 3
Para o termo polinomial
, como
é raiz simples, multiplicamos o ansatz polinomial de grau 1 por
:
Suas derivadas são
Substituindo em
vem
que deve igualar
. Assim
Portanto
Passo 4
Para o termo
, já que
é raiz simples, usamos
Então
Substituindo:
que deve ser
. Logo
e
. Assim
Passo 5
A solução geral é