1. (a) Como determinar a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma curva espacial?
    (b) Escreva a aceleração em termos de suas componentes tangencial e normal.

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar como, dado um movimento descrito por uma curva espacial r(t), obtemos a velocidade vetorial v(t), a velocidade escalar v(t) e a aceleração a(t); e (b) escrever a(t) em termos de componentes tangencial e normal. O conteúdo é cálculo de funções vetoriais de uma variável.

Passo 2

Para qualquer curva espacial r(t)=(x(t),y(t),z(t)), a velocidade vetorial é a derivada componente a componente:
v(t)=r'(t)=l(x'(t),,y'(t),,z'(t)r)

Passo 3

A velocidade escalar v(t), que é a rapidez ou módulo de v(t), vem de
v(t)=|v(t)|=raizx'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2

Passo 4

A aceleração vetorial a(t) é a derivada de v(t):
a(t)=v'(t)=r''(t)=l(x''(t),,y''(t),,z''(t)r)

Passo 5

Para decompor a(t) em parte tangencial e parte normal, usamos:
1. O vetor tangente unitário
T(t)=v(t)|v(t)|=v(t)v(t)
2. A curvatura kappa(t), definida por
kappa(t)=|T'(t)||r'(t)|=|v(t)timesa(t)||v(t)|^3
3. O vetor normal principal unitário
N(t)=T'(t)|T'(t)|
Aí definimos a componente tangencial da aceleração
aT(t)=ddtl|v(t)r|=d,v(t)dt
e a componente normal
aN(t)=kappa(t),v(t)^2

Resposta

A resposta final é:
(a)
v(t)=r'(t), v(t)=|v(t)|, a(t)=v'(t)=r''(t)
(b)
a(t)=aT(t),T(t)+aN(t),N(t),
com
T(t)=v(t)v(t), aT(t)=dvdt, aN(t)=kappa(t),v(t)^2, kappa(t)=|v(t)timesa(t)||v(t)|^3

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