calcule as integrais a seguir e justifique seus resultados por meio de conceitos matemáticos válidos
\int x^{5} cos (x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int x^{5}\cos(x+2)\,dx
O conteúdo envolvido é o produto de um polinômio x^5 e uma função trigonométrica \cos(x+2). A técnica adequada é a integração por partes, baseada na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
que por sua vez decorre da regra do produto para derivação.

Passo 2

Para não repetir cinco vezes a integração por partes “na mão”, usamos o método tabular. Montamos duas colunas: de um lado as derivadas sucessivas de u(x)=x^5 até zerar, e do outro as antiderivadas sucessivas de \cos(x+2):
\begin{array}{c|c} \text{Derivadas de }x^5 & \text{Antiderivadas de }\cos(x+2)\\hline x^5 & \sin(x+2)\\\\ 5x^4 & -\cos(x+2)\\\\ 20x^3 & -\sin(x+2)\\\\ 60x^2 & \cos(x+2)\\\\ 120x & \sin(x+2)\\\\ 120 & -\cos(x+2)\\\\ 0 & \end{array}

Passo 3

Pela regra do método tabular (sinais alternados começando por +), a primitiva vale a soma dos produtos linha a linha até a penúltima linha:
\begin{aligned} F(x)&= +\,x^5\;\sin(x+2)\\\ &\quad -\,5x^4\bigl(-\cos(x+2)\bigr)\\\ &\quad +\,20x^3\bigl(-\sin(x+2)\bigr)\\\ &\quad -\,60x^2\;\cos(x+2)\\\ &\quad +\,120x\;\sin(x+2)\\\ &\quad -\,120\bigl(-\cos(x+2)\bigr). \end{aligned}
Agrupando e simplificando sinais, obtemos
F(x)=x^5\sin(x+2)+5x^4\cos(x+2)-20x^3\sin(x+2)-60x^2\cos(x+2)+120x\sin(x+2)+120\cos(x+2).
Como verificação extra, ao derivar F(x) usa-se linearidade da derivada e as identidades
\frac{d}{dx}\sin(x+2)=\cos(x+2),
\frac{d}{dx}\cos(x+2)=-\sin(x+2),
o que reconstrói exatamente x^5\cos(x+2).

Resposta

\boxed{\int x^{5}\cos(x+2)\,dx = x^5\sin(x+2)+5x^4\cos(x+2)-20x^3\sin(x+2)-60x^2\cos(x+2)+120x\sin(x+2)+120\cos(x+2)+C.}

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