calcule as integrais a seguir e justifique seus resultados por meio de conceitos matemáticos válidos
Passo 1
O enunciado pede a primitiva
O conteúdo envolvido é o produto de um polinômio
e uma função trigonométrica
. A técnica adequada é a integração por partes, baseada na fórmula
que por sua vez decorre da regra do produto para derivação.
Passo 2
Para não repetir cinco vezes a integração por partes “na mão”, usamos o método tabular. Montamos duas colunas: de um lado as derivadas sucessivas de
até zerar, e do outro as antiderivadas sucessivas de
:
Passo 3
Pela regra do método tabular (sinais alternados começando por
), a primitiva vale a soma dos produtos linha a linha até a penúltima linha:
Agrupando e simplificando sinais, obtemos
Como verificação extra, ao derivar
usa-se linearidade da derivada e as identidades
,
,
o que reconstrói exatamente .
o que reconstrói exatamente