Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p} da equação sabendo que a y_{c} foi calculada na lista de Revisão 1.
\
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular y_{p} da equação
y'' - 8y' + 16y = x^2
usando variação de parâmetros, sabendo que a solução geral da homogênea é
y_{c} = C_{1}e^{4x} + C_{2}x e^{4x}.
Para aplicar variação de parâmetros, vamos usar as duas soluções fundamentais \,y_{1}=e^{4x}\, e \,y_{2}=x e^{4x}\,.

Passo 2

Calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2}). Primeiro as derivadas:
y_{1}' = 4e^{4x}, \quad y_{2}' = e^{4x} + 4x e^{4x} = e^{4x}(1+4x).
Então
W = \det\begin{pmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{pmatrix} = e^{4x}\cdot e^{4x}(1+4x) \;-\; x e^{4x}\cdot 4e^{4x} = e^{8x}(1+4x - 4x) = e^{8x}.

Passo 3

As fórmulas de variação de parâmetros dizem:
u_{1}' = -\frac{g(x)\,y_{2}}{W}, \quad u_{2}' = \frac{g(x)\,y_{1}}{W},
onde g(x)=x^{2}. Logo
u_{1}' = -\frac{x^{2}\,(x e^{4x})}{e^{8x}} = -x^{3}e^{-4x}, \quad u_{2}' = \frac{x^{2}\,e^{4x}}{e^{8x}} = x^{2}e^{-4x}.

Passo 4

Agora integramos cada um:
u_{1} = \int -x^{3}e^{-4x}\,dx, \quad u_{2} = \int x^{2}e^{-4x}\,dx.
Fazendo integração por partes sucessivas obtém-se
\int x^{3}e^{-4x}dx = e^{-4x}\Bigl(-\tfrac14x^{3}-\tfrac{3}{16}x^{2}-\tfrac{3}{32}x-\tfrac{3}{128}\Bigr),
portanto
u_{1} = -\int x^{3}e^{-4x}dx = e^{-4x}\Bigl(\tfrac14x^{3}+\tfrac{3}{16}x^{2}+\tfrac{3}{32}x+\tfrac{3}{128}\Bigr).
De modo análogo
\int x^{2}e^{-4x}dx = e^{-4x}\Bigl(-\tfrac14x^{2}-\tfrac18x-\tfrac1{32}\Bigr),
logo
u_{2} = e^{-4x}\Bigl(-\tfrac14x^{2}-\tfrac18x-\tfrac1{32}\Bigr).

Passo 5

A solução particular é
y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2} = \Bigl[e^{-4x}\bigl(\tfrac14x^{3}+\tfrac{3}{16}x^{2}+\tfrac{3}{32}x+\tfrac{3}{128}\bigr)\Bigr]e^{4x} + \Bigl[e^{-4x}\bigl(-\tfrac14x^{2}-\tfrac18x-\tfrac1{32}\bigr)\Bigr](x e^{4x}).
Cancelando os expoentes e somando termos semelhantes, sobra
y_{p} = \tfrac{1}{16}x^{2} + \tfrac{1}{16}x + \tfrac{3}{128}.

Resposta

y_{p}(x) = \frac{1}{16}x^{2} + \frac{1}{16}x + \frac{3}{128}.

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