calcule as integrais a seguir e justifique seus resultados por meio de conceitos matemáticos válidos
Passo 1
O enunciado pede a antiderivada da função racional
O conteúdo principal aqui é integração de frações racionais, que geralmente resolvemos por decomposição em frações parciais, seguida de integrações usuais (logaritmo e potências).
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais: buscamos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Expandindo e agrupando termos, igualamos coeficientes de potências de
. Logo,
- Ao x⁰:
- Ao x⁴:
- Ao x³:
- Ao x²:
- Ao x¹:
Portanto
Passo 3
Integramos termo a termo:
-
- Para
, fazemos a substituição , . Assim
logo o termo vale
- Para
, usamos de novo , , obtendo
e portanto o termo torna-se
Passo 4
Somando tudo, a antiderivada geral é