calcule as integrais a seguir e justifique seus resultados por meio de conceitos matemáticos válidos
\int \frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função racional
\frac{1}{x\,(x^{2}+4)^{2}}
O conteúdo principal aqui é integração de frações racionais, que geralmente resolvemos por decomposição em frações parciais, seguida de integrações usuais (logaritmo e potências).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais: buscamos constantes A,B,C,D,E tais que
\frac{1}{x\,(x^{2}+4)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}+\frac{Dx+E}{(x^{2}+4)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x^{2}+4)^{2}, obtemos
1 =A\,(x^{2}+4)^{2}+(Bx+C)\,x\,(x^{2}+4)+(Dx+E)\,x.
Expandindo e agrupando termos, igualamos coeficientes de potências de x. Logo,
  • Ao x⁰: 16A=1\implies A=\tfrac1{16}.
  • Ao x⁴: A+B=0\implies B=-\tfrac1{16}.
  • Ao x³: C=0.
  • Ao x²: 8A+4B+D=0\implies D=-\tfrac14.
  • Ao x¹: 4C+E=0\implies E=0.
Portanto
\frac{1}{x\,(x^{2}+4)^{2}} =\frac{1/16}{x} -\frac{1/16\,x}{x^{2}+4} -\frac{1/4\,x}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle\int\frac{1/16}{x}\,dx=\frac1{16}\ln\lvert x\rvert.
  2. Para \displaystyle\int -\frac1{16}\frac{x}{x^{2}+4}\,dx, fazemos a substituição u=x^{2}+4, du=2x\,dx. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx =\frac12\ln(x^{2}+4),
logo o termo vale -\frac1{16}\cdot\frac12\ln(x^{2}+4)=-\frac1{32}\ln(x^{2}+4).
  1. Para \displaystyle\int -\frac14\frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx, usamos de novo u=x^{2}+4, du=2x\,dx, obtendo
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac12\int u^{-2}du =-\frac1{2u},
e portanto o termo torna-se -\tfrac14\cdot\bigl(-\tfrac1{2(x^{2}+4)}\bigr)=\frac1{8(x^{2}+4)}.

Passo 4

Somando tudo, a antiderivada geral é
\boxed{ \int \frac{1}{x\,(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac1{16}\ln\lvert x\rvert -\frac1{32}\ln(x^{2}+4) +\frac1{8(x^{2}+4)} +C. }

Resposta

\frac1{16}\ln\lvert x\rvert -\frac1{32}\ln(x^{2}+4) +\frac1{8(x^{2}+4)} +C.

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