calcule as integrais a seguir e justifique seus resultados por meio de conceitos matemáticos válidos
\int_{-2}^{2} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right)+\sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-2}^{2}\bigl(\operatorname{sen}(x^{3})+\sqrt{4-x^{2}}\bigr)\,dx
usando conceitos de linearidade de integrais e paridade de funções.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar em duas:
\int_{-2}^{2}\operatorname{sen}(x^{3})\,dx \;+\;\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.

Passo 3

A função f(x)=\operatorname{sen}(x^{3}) é ímpar, pois
f(-x)=\operatorname{sen}\bigl((-x)^{3}\bigr) =\operatorname{sen}(-x^{3}) =-\operatorname{sen}(x^{3}) =-f(x).
Integrar uma função ímpar em [-a,a] dá zero:
\int_{-2}^{2}\operatorname{sen}(x^{3})\,dx=0.

Passo 4

A função g(x)=\sqrt{4-x^{2}} é par, já que
g(-x)=\sqrt{4-(-x)^{2}}=\sqrt{4-x^{2}}=g(x).
Logo
\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx =2\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.
Esse último integral representa a área de um quarto de círculo de raio 2 duplicada, isto é, metade de um círculo de raio 2. Portanto
\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\pi\,(2)^{2} =2\pi.

Resposta

2\pi

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