para qual valor de \mathrm{k}>0 a área definida pela região abaixo do gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x})=e^{-k x}, acima do eixo x e a direita de x=0 é igual a 1 / k

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=e^{-k x} com k>0 e pede para que a área da região abaixo do gráfico de f, acima do eixo x e à direita de x=0 seja igual a 1/k. Vamos usar cálculo de integrais impróprias para determinar essa área.

Passo 2

Representamos a área A como a integral imprópria
A = \int_{0}^{\infty} e^{-k x}\,dx.

Passo 3

Para calcular essa integral, encontramos uma primitiva de e^{-k x}. Sabemos que
\int e^{-k x}\,dx = -\frac{1}{k}\,e^{-k x} + C.

Passo 4

Agora avaliamos o limite na passagem para a integral imprópria:
A = \lim_{b\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{k}e^{-k x}\Bigr]_{0}^{b} = \lim_{b\to\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{k}e^{-k b}\Bigr) \;-\; \Bigl(-\tfrac{1}{k}e^{-k\cdot 0}\Bigr).
Como e^{-k b}\to0 quando b\to\infty, segue que
A = 0 + \frac{1}{k} = \frac{1}{k}.

Passo 5

Encontramos que a área A é exatamente 1/k para qualquer valor de k>0. Portanto, a condição “área igual a 1/k” é satisfeita para todo k>0.

Resposta

A condição é satisfeita para todo k>0.

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